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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Sa 14.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Welcher Punkt D der Geraden h durch A(4/0/0) und B(0/2/0) liegt dem Koordinatenursprung am nächsten?
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Hallo^^
Bei dieser Aufgabe komme ich nicht mehr weiter.
Also ich hab schonmal die Geradengleichung für ha aufgestellt:
[mm] h:\vec{x}=\vektor{4 \\ 0 \\ 0}+r\cdot{}\vektor{-4 \\ 2 \\ 0}.
[/mm]
Ich vesteh aber nicht,wie ich den Punkt rausbekommen kann,der dem Koordinatenursprung am nächsten liegt?
Vielleicht irgendwie mit dem Pythagoras?
Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Sa 14.03.2009 | | Autor: | glie |
> Welcher Punkt D der Geraden h durch A(4/0/0) und B(0/2/0)
> liegt dem Koordinatenursprung am nächsten?
>
> Hallo^^
>
> Bei dieser Aufgabe komme ich nicht mehr weiter.
> Also ich hab schonmal die Geradengleichung für ha
> aufgestellt:
>
> [mm]h:\vec{x}=\vektor{4 \\ 0 \\ 0}+r\cdot{}\vektor{-4 \\ 2 \\ 0}.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich vesteh aber nicht,wie ich den Punkt rausbekommen
> kann,der dem Koordinatenursprung am nächsten liegt?
> Vielleicht irgendwie mit dem Pythagoras?
> Kann mir jemand weiterhelfen?
>
Hallo Mandy,
Der gesuchte Punkt D ist der Lotfußpunkt des Lotes vom Ursprung auf die gegebene Gerade.
Ich würde dazu folgendermaßen vorgehen:
Wähle den allgemeinen Geradenpunkt X(4-4r/2r/0) und bestimme r so, dass der Verbindungsvektor [mm] \overrightarrow{OX} [/mm] senkrecht auf die Gerade steht.
Tip: Skalarprodukt!
Kommst du damit weiter?
Gruß Glie
>
> Vielen Dank
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Sa 14.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Vielen Dank.
> Der gesuchte Punkt D ist der Lotfußpunkt des Lotes vom
> Ursprung auf die gegebene Gerade.
>
> Ich würde dazu folgendermaßen vorgehen:
> Wähle den allgemeinen Geradenpunkt X(4-4r/2r/0) und
> bestimme r so, dass der Verbindungsvektor
> [mm]\overrightarrow{OX}[/mm] senkrecht auf die Gerade steht.
>
> Tip: Skalarprodukt!
Geht das auch ohne Skalarprodukt?Wir hatten das nämlich noch nicht...
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Sa 14.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Du kannst hier auch eine Extremwertberechnung durchführen (was aber ungleich umständlicher ist als die Anwendung des  Skalarproduktes).
Verwende dafür die Abstandsformel zweier Punkte $A_$ und $B_$:
[mm] $$d_{AB} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2+\left(z_B-z_A\right)^2}$$
[/mm]
Setze nun ein:
[mm] $$x_A [/mm] \ = \ [mm] y_A [/mm] \ = \ [mm] z_A [/mm] \ = \ 0 \ \ \ [mm] \text{ für Ursprung!}$$
[/mm]
Für $B_$ setzt Du nun die Werte aus der Geradengleichung ein.
Um Dir die Rechnung zu vereinfachen, kannst Du auch die Ersatzfunktion [mm] $d_{AB}^{\red{2}}$ [/mm] betrachten, um die Wurzel zu umgehen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 So 15.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Vielen Dank Loddar.
>
> Du kannst hier auch eine Extremwertberechnung durchführen
> (was aber ungleich umständlicher ist als die Anwendung des
> Skalarproduktes).
>
> Verwende dafür die Abstandsformel zweier Punkte [mm]A_[/mm] und [mm]B_[/mm]:
> [mm]d_{AB} \ = \ \wurzel{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2+\left(z_B-z_A\right)^2}[/mm]
>
> Setze nun ein:
> [mm]x_A \ = \ y_A \ = \ z_A \ = \ 0 \ \ \ \text{ für Ursprung!}[/mm]
Ich versteh grad nicht warum ich für [mm] x_A=0 [/mm] einsetze,die x-Koordinate von A ist doch 4 ?
> Für [mm]B_[/mm] setzt Du nun die Werte aus der Geradengleichung
> ein.
Soll ich da die Werte von dem Stützpunkt der Geradengleichung oder dem Richtungsvektor der Geradengleichung nehmen?
> Um Dir die Rechnung zu vereinfachen, kannst Du auch die
> Ersatzfunktion [mm]d_{AB}^{\red{2}}[/mm] betrachten, um die Wurzel
> zu umgehen.
>
>
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 So 15.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Ein Punkt Deiner Geraden hat die Koordinaten
x = 4-4r
y = 2r
z= 0
Die Entfernung dieses Punktes vom Ursprung ist also
d(r) = [mm] \wurzel{(4-4r)^2+(2r)^2+0^2} [/mm] = [mm] \wurzel{20r^2-28r+16}
[/mm]
Du mußt r so bestimmen, dass d(r) minimal wird
d(r) wird minimal [mm] \gdw d(r)^2 [/mm] wird minimal
Hilft das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 So 15.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Ein Punkt Deiner Geraden hat die Koordinaten
>
> x = 4-4r
> y = 2r
> z= 0
>
> Die Entfernung dieses Punktes vom Ursprung ist also
>
> d(r) = [mm]\wurzel{(4-4r)^2+(2r)^2+0^2}[/mm] =
> [mm]\wurzel{20r^2-28r+16}[/mm]
>
> Du mußt r so bestimmen, dass d(r) minimal wird
>
> d(r) wird minimal [mm]\gdw d(r)^2[/mm] wird minimal
>
> Hilft das ?
>
Ja das hilft =).
Ich muss ja dann meine Zielfunktion ableiten.Also
[mm] d^2'(r)=40r-28 [/mm] und das gleich o setzen.
Dann bekomme ich für r=0.7 raus.Aber daraus muss ich ja noch die Wurzel ziehen oder?
Dann hab ich [mm] r=\bruch{\wurzel{70}}{10}.
[/mm]
Wenn ich dieses r in meine Punktkoordinaten der Geraden einsetze,dann hab x=0.65, y=1.6 und z=0.
Wäre das so in Ordnung?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 So 15.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Ein Punkt Deiner Geraden hat die Koordinaten
> >
> > x = 4-4r
> > y = 2r
> > z= 0
> >
> > Die Entfernung dieses Punktes vom Ursprung ist also
> >
> > d(r) = [mm]\wurzel{(4-4r)^2+(2r)^2+0^2}[/mm] =
> > [mm]\wurzel{20r^2-28r+16}[/mm]
> >
> > Du mußt r so bestimmen, dass d(r) minimal wird
> >
> > d(r) wird minimal [mm]\gdw d(r)^2[/mm] wird minimal
> >
> > Hilft das ?
> >
>
> Ja das hilft =).
> Ich muss ja dann meine Zielfunktion ableiten.Also
> [mm]d^2'(r)=40r-28[/mm] und das gleich o setzen.
> Dann bekomme ich für r=0.7 raus.Aber daraus muss ich ja
> noch die Wurzel ziehen oder?
Nein !!!!
Nochmal:
d(r) wird minimal für r = 0,7 [mm]\gdw d(r)^2[/mm] wird minimal für r = 0,7
FRED
>
> Dann hab ich [mm]r=\bruch{\wurzel{70}}{10}.[/mm]
> Wenn ich dieses r in meine Punktkoordinaten der Geraden
> einsetze,dann hab x=0.65, y=1.6 und z=0.
>
> Wäre das so in Ordnung?
>
> lg
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