nichlineare DGL & cg-Verfahren < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich bin Maschinenbauerin und steh vor einem großem Problem.
ich habe
[mm] u_t - \Delta u+u^2=c [/mm] in [mm] \Omega [/mm]
[mm] u=0 [/mm] auf [mm] \delta\Omega [/mm]
dieses muß ich mit dem CG-Vefahren in Kombination mit dem Newton-Verfahren lösen.
1.Frage: Wie Kombiniert man das?
2.Frage: Wie diskretisiert man das?
Ich würde mich über schnelle Antworten sehr freuen.
Eure Meike
P.S: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:08 Fr 25.09.2009 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo Meike,
> Hallo,
>
> ich bin Maschinenbauerin und steh vor einem großem
> Problem.
> ich habe
> [mm]u_t - \Delta u+u^2=c[/mm] in [mm]\Omega[/mm]
> [mm]u=0[/mm] auf [mm]\delta\Omega[/mm]
> dieses muß ich mit dem CG-Vefahren in Kombination mit dem
> Newton-Verfahren lösen.
>
> 1.Frage: Wie Kombiniert man das?
> 2.Frage: Wie diskretisiert man das?
>
Numerik partieller DG ist kein triviales Gebiet, wenn die PDG nichtlinear ist, schon gar nicht. Soll heissen, ich kann mir kaum vorstellen, dass man euch diese aufgabe so ohne hintergrund vorgesetzt hat, wie Du es hier tust.
Habt Ihr nicht schon verfahren fuer die diskretisierung von PDGs besprochen (finite elemente/differenzen etc.) und wie nichtlinearitaeten behandelt werden? Ein paar mehr infos zu deinem hintergrundwissen sind notwendig.
gruss
matthias
> Ich würde mich über schnelle Antworten sehr freuen.
>
> Eure Meike
>
> P.S: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
Hallo Matthias,
ich weiß wie man die Poisson-Gleichung diskretisiert. Mit der Taylorentwicklung komme ich hier aber nicht zurecht.
Könntest du mir ein paar Stichworte nennen wie ich hier vorgehen muss? Vorallem für den nichtlinearen Teil.
Viele Grüße
Meike
|
|
|
| |
|
Hallo Meike,
gut, ich versuche es mal kurz und buendig zu erklaeren. Ist aber ohne gewaehr auf vollstaendige korrektheit! 
Nimm an, du hast deine funktion u schon zur zeit [mm] $t_n$ [/mm] berechnet, die sei mit [mm] $u_n$ [/mm] bezeichnet. Am anfang kennst du ja u zur zeit $t=0$, das ist also OK. jetzt musst du irgendwie auf [mm] $u_{n+1}$ [/mm] schliessen. man diskretisiert meist die zeitableitung als einfachen diff.-quotienten.
[mm]
\partial_t u\approx \frac{u_{n+1}-u_n}{\Delta t}
[/mm]
[mm] $\Delta [/mm] t$ ist die zeitschritt-weite.
Lass uns nun den raeumlichen diff.-operator als $F$ bezeichnen, also
[mm]
F(u):=\Delta u-u^2+c
[/mm]
schreibt man das zusammen, erhaelt man die gleichung
[mm]
u_{n+1}=u_n+\Delta t\cdot F(u)
[/mm]
Um das zu loesen, gibt es (grob gesagt) zwei ansaetze:
explizites schema: setze einfach [mm] $u_n$ [/mm] anstatt u in $F$ ein und rechne [mm] u_{n+1} [/mm] aus. Das ist straightforward, man braucht keine gleichungssysteme oder aehnliches zu loesen. Nachteil: der zeitschritt [mm] $\Delta [/mm] t$ muss sehr klein gewaehlt werden, sonst wird das schema instabil.
implizites schema: das sollt ihr vermutlich machen. Setze [mm] $u_{n+1}$ [/mm] in $F$ ein. Dann wird es interessant: wenn $F$ linear ist, muss man ein lineares GS fuer [mm] u_{n+1} [/mm] loesen. Ist aber $F$ nichtlinear, wie in deinem fall, so kann man die entstehende gleichung fuer [mm] $u_{n+1}$ [/mm] mit einem mehrdimensionalen newton-verfahren approximieren. Als startwert der iteration wird man vermutlich [mm] u_n [/mm] waehlen. Das newton verfahren erfordert nun, dass lineare GS geloest werden. Hierfuer sollt ihr das CG verfahren verwenden.
OK, das war also ein kurzer abriss des themas. Wuerde mich wundern, wenn man euch diese aufgabe vorsetzen wuerde, ohne dass aehnliche probleme schon besprochen worden waeren.
gruss
matthias
|
|
|
|
