nicht-degenerierter stationärer Punkt < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Mi 07.01.2004 | | Autor: | Steewie |
Hallo!!!
Lerne gerade für mein Analysis-Vordiplom und hab mit gerade das Morselemma angeschaut. Könnt Ihr mir vielleicht sagen, was ein nicht-degenerierter(!!!!) stationärer Punkt ist? Was bedeutet dieses nicht-degeneriert???
Vielen Dank, Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Mi 07.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Steffi,
schön, dass du dich bei uns angemeldet hast.
Ich kenne jetzt deine Version nicht genau, aber normalerweise lautet das Morse-Lemma wie folgt:
Es sei [mm]U \subset \IR^n[/mm] eine Umgebung von [mm]x=0[/mm]. Weiterhin sei [mm]f: U \to \IR[/mm] eine glatte Funktion mit [mm]f(0)=0[/mm] und [mm](Df)_0=0[/mm]. Die Hesse-Matrix sei in [mm]x=0[/mm] invertierbar. Dann gibt es eine Umgebung [mm]U_0 \subset U[/mm] von [mm]0[/mm] und ein (glattes) Koordinatensystem [mm](x_1,\ldots,x_n)[/mm] auf [mm]U_0[/mm] mit [mm]x_i(0)=0[/mm] [mm](i=1,\ldots,n)[/mm] und einem "Vorzeichensystem" [mm](\sigma_1,\ldots,\sigma_n)[/mm] (d.h. [mm]\sigma_i \in \{\pm 1\}[/mm]), so dass für alle [mm]p \in U_0[/mm] folgendes gilt:
[mm]f(x(p))= \sigma_1 \, (x_1(p)^2 + \sigma_2\, (x_2(p))^2 + \ldots + \sigma_n\, (x_n(p))^2[/mm].
([mm]f[/mm] ist dann also lokal so etwas wie eine quadratische Form.)
Jetzt nehme ich mal an (könnte das sein?), dass die Bedingungen [mm](Df)_0=0[/mm] die Stationarität bedeutet (das würde Sinn machen) und die Bedingung, dass die Hesse-Matrix in [mm]0[/mm] invertierbar ist, könnte bedeuten, dass [mm]x=0[/mm] nicht-degeneriert ist.
In deinem Satz wird der Satz dann nicht speziell für [mm]x=0[/mm] formuliert, sondern allgemein für stationäre nicht degenerierte Punkte, also solche, wo der Gradient verschwindet, die Hesse-Matrix aber invertierbar ist.
Ohne Garantie, aber mit Hoffnung auf Richtigkeit 
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Mi 07.01.2004 | | Autor: | Steewie |
Ja, genau, unser Satz wurde allgemein für stationäre nicht-degenerierte Punkte formuliert. Aber was heisst dann: f ist lokal so etwas wie eine quadratische Form? Heisst das anschaulich, dass die Niveaulinien von f irgendwie durch dieses x deformiert werden, auf eine quadratische Form gebracht werden? Im [mm] \IR^2 [/mm] z.B. zu Paraboloiden, mit xo als stationärer Punkt, oder auch irgendwie zu sowas mit einem Sattelpunkt?????(Im eindimensionalen gibts ja genau diese drei Sachen: Minimum, Maximum und Sattelpunkt...)
Irgendwie verzweifel ich gerade total........
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Mi 07.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Steffi,
du liegst da doch (meiner Meinung nach) ganz gut. Die kritischen Punkte können lokale Maxima, lokale Minima oder Sattelpunkte sein. Um diesen Punkt sehen dann die Niveaulinien so aus wie die Niveaulinien der zugehörigen quadratischen Form. Wenn die Vorzeichen zum Beispiel alle positiv sind, dann sind die lokalen Niveaulinien eben einfach Spären usw. (Wie die lokalen Niveaulinien bei unterschiedlichen Vorzeichen aussehen, solltest du dir mal in einem LA-Buch oder so anschauen, wo es um quadratische Formen geht. Bevor ich Blödsinn erzähle, schweige ich lieber ).
Vielleicht weiß ja noch jemand anderes was dazu zu schreiben?
Alles Gute
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 Mi 07.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Steffi,
also, ich habe noch mal nachgeschaut und hatte zum Glück recht:
Ein Punkt [mm]p[/mm] heißt in diesem Fall nicht-ausgeartet, wenn folgendes gilt: Ist [mm]H(f)_p[/mm] die Hesse-Matrix von [mm]f[/mm] in [mm]p[/mm], so ist die durch
[mm]_p := [/mm]
definierte Bilinearform nicht-ausgeartet. Dies ist äquivalent dazu, dass [mm]H(f)_p[/mm] regulär ist.
Hier noch zwei Beispiele für mögliche lokale Niveauflächen im [mm]\IR^3[/mm] (neben den bereits erwähnten Spären):
In geeigneten Koordinaten haben die lokalen Niveauflächen von [mm]f[/mm] die Form:
1) Spären (bereits erwähnt)
2) [mm]\{x \in \IR^3\, :\, x_1^2 + x_2^2 - x_3^2 = c\}[/mm], [mm]c>0[/mm]
einschalige Hyperboloide
3)[mm]\{x \in \IR^3\, :\, x_1^2 - x_2^2 - x_3^2 = c\}[/mm], [mm]c>0[/mm]
zweischalige Hyperboloide
Alles Gute
Stefan
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