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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - nicht-konstante ganze Fktionen
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nicht-konstante ganze Fktionen: Tipp,Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:04 Mo 16.05.2022
Autor: nkln

Aufgabe
Sei $f: [mm] \mathbb{C}\to\mathbb{C}$ [/mm] eine nicht-konstante ganze Funktion.Zeigen Sie die Äquivalenz der folgende Aussagen
$(i)$ $ f $ist ein Polynom.
$(ii)$ Es gibt Konstanten [mm] $R_0,C,s>0$ [/mm] derart, dass
                                                   [mm] $f(\mathb{C} \setminus K_{R}(0)) \subset \mathbb{C}\setminus K_{CR^s}(0)$ [/mm]
für alle [mm] $R>R_0$ [/mm] gilt.

$(iii)$ Zu jedem $R>0$ exitiert ein $R' >0$ derart,dass
[mm] $f(\mathb{C} \setminus K_{R'}(0)) \subset \mathbb{C}\setminus K_{R}(0)$ [/mm]


Hallo,

Die Beweisstrategie, die ich anwenden möchte, ist der Ringschluss. Das heißt, dass ich zeige werden, dass $(i) [mm] \Rightarrow [/mm] (ii) [mm] \Rightarrow [/mm] (iii) [mm] \Rightarrow [/mm] (i)$ gilt.

1. $(i) [mm] \Rightarrow [/mm] (ii)$
Wir haben als Voraussetzung, dass $f$ eine nicht-konstante ganze Funktion und $f$ ist ein Polynom.  Sei nun [mm] $f(z)=\sum_{j=0}^{n} a_j \cdot z^j \in \mathbb{C}[z]$ [/mm] ein nicht konstantes Polynom vom Grad n. Laut meinen Skript sind dann mit dem Fundamentalsatz der Algebra zwei Aussagen in diesem Setting äquivalent:

$(1)$$f(z)$ hat eine Nullstelle in [mm] $\mathbb{C}$ [/mm]
$(2)$Es gibt [mm] $b_1,...,b_n \in \mathbb{C}$ [/mm] mit der Eigenschaft $f(z)= [mm] a_n \produkt_{j=1}^{n}(z-b_i)$. [/mm]

Nun folgere ich mit Hilfe des Satzes, dass $f(z)$ eine Nullstelle $z [mm] \in \mathbb{C}$ [/mm] mit $f(z)=0$hat.
Ich wollte nun irgendwie [mm] $K_R(0)$ [/mm] ins Spiel bringen, weiß aber nicht wie..

Würde mir  vielleicht jemand helfen wollen, bitte? Ist mein Ansatz käse?

        
Bezug
nicht-konstante ganze Fktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:28 Di 17.05.2022
Autor: fred97


> Sei [mm]f: \mathbb{C}\to\mathbb{C}[/mm] eine nicht-konstante ganze
> Funktion.Zeigen Sie die Äquivalenz der folgende Aussagen
>  [mm](i)[/mm] [mm]f [/mm]ist ein Polynom.
>  [mm](ii)[/mm] Es gibt Konstanten [mm]R_0,C,s>0[/mm] derart, dass
>                                                    
> [mm]f(\mathb{C} \setminus K_{R}(0)) \subset \mathbb{C}\setminus K_{CR^s}(0)[/mm]
>  
> für alle [mm]R>R_0[/mm] gilt.
>  
> [mm](iii)[/mm] Zu jedem [mm]R>0[/mm] exitiert ein [mm]R' >0[/mm] derart,dass
>  [mm]f(\mathb{C} \setminus K_{R'}(0)) \subset \mathbb{C}\setminus K_{R}(0)[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> Die Beweisstrategie, die ich anwenden möchte, ist der
> Ringschluss. Das heißt, dass ich zeige werden, dass [mm](i) \Rightarrow (ii) \Rightarrow (iii) \Rightarrow (i)[/mm]
> gilt.
>
> 1. [mm](i) \Rightarrow (ii)[/mm]
>  Wir haben als Voraussetzung, dass
> [mm]f[/mm] eine nicht-konstante ganze Funktion und [mm]f[/mm] ist ein
> Polynom.  Sei nun [mm]f(z)=\sum_{j=0}^{n} a_j \cdot z^j \in \mathbb{C}[z][/mm]
> ein nicht konstantes Polynom vom Grad n. Laut meinen Skript
> sind dann mit dem Fundamentalsatz der Algebra zwei Aussagen
> in diesem Setting äquivalent:
>  
> [mm](1)[/mm][mm]f(z)[/mm] hat eine Nullstelle in [mm]\mathbb{C}[/mm]
>  [mm](2)[/mm]Es gibt [mm]b_1,...,b_n \in \mathbb{C}[/mm] mit der Eigenschaft
> [mm]f(z)= a_n \produkt_{j=1}^{n}(z-b_i)[/mm].
>  
> Nun folgere ich mit Hilfe des Satzes, dass [mm]f(z)[/mm] eine
> Nullstelle [mm]z \in \mathbb{C}[/mm] mit [mm]f(z)=0[/mm]hat.
>  Ich wollte nun irgendwie [mm]K_R(0)[/mm] ins Spiel bringen, weiß
> aber nicht wie..
>  
> Würde mir  vielleicht jemand helfen wollen, bitte? Ist
> mein Ansatz käse?

Ja, leider. Ich gebe Dir mal einen Hinweis. $f$ sei ein nichtkonstantes Polynom .

Dann gilt $f(z)= [mm] a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_1z+a_0$, [/mm] wobei $n [mm] \ge [/mm] 1$, [mm] a_j \in \IC [/mm] und [mm] a_n \ne [/mm] 0.

Somit [mm] $f(z)=z^n [/mm] ( [mm] a_n+ \frac{a_{n-1}}{z}+....+\frac{a_{0}}{z^n}).$ [/mm]

Die Funktion in der Klammer nennen wir $g$.

Dann gilt: $g(z) [mm] \to a_n$ [/mm] für $|z| [mm] \to \infty.$ [/mm] Also

   $|f(z)| [mm] \to \infty$ [/mm] für $|z| [mm] \to \infty.$ [/mm]

D. h. : Ist $R>0$, so gibt es ein $R' >0$ mit

   $|f(z)| [mm] \ge [/mm] R$  für $|z| [mm] \ge [/mm] R'$.

Damit gilt $(iii).$

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