www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - nicht ausgeartete Bilinearform
nicht ausgeartete Bilinearform < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

nicht ausgeartete Bilinearform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:41 Fr 13.02.2015
Autor: Picard

Hallo,

es geht um den Beweis einer Proposition.

Prop: Sei [mm] \beta [/mm] eine Bilinearform auf einem endlichdimensionalen [mm] \IK-Vektorraum [/mm] V. Sei [mm] B=(v_{1},...,v_{n}) [/mm] eine Basis von V, und sei
[mm] M_{b}(\beta) [/mm] = A die Matrixdarstellung von [mm] \beta [/mm] bzgl. B. Folgende Aussagen sind äquivalent:

1. [mm] \beta [/mm] ist nicht ausgeartet
2. Rg(A)=n


Beweis:
[mm] \Rightarrow [/mm]
Ok diese Beweisrichtung habe ich verstanden

[mm] \Leftarrow [/mm]
ok hier gibts Probleme:
Sei Rg(A)=n. Sei [mm] v=\summe_{i=1}^{n} b_{i} v_{i} \in [/mm] V, sodass [mm] \beta(v,w)=0 [/mm] für alle w [mm] \in [/mm] V. Dann gilt insbesondere [mm] b^{T}Ae_{i}=0 [/mm] für alle Standardbasisvektoren [mm] e_{1},...,e_{n}. [/mm] Indem wir die Standardbasisvektoren zu einer Matrix zusammenfassen, folgt [mm] b^{T}AI_{n}=b^{T}A=(0...0). [/mm] Somit gilt
[mm] 0=Rg((0...0))=Rg(b^{T}A)=Rg(b^{t}). [/mm]
Es folgt [mm] b^{t}=(0...0), [/mm] also v=0. Dies beweist Bedingung 1. der Definition (Definition für nicht ausgeartete Bilinearformen) und analog wird 2. der Definition gezeigt.

Warum gilt  [mm] b^{T}Ae_{i}=0? [/mm] Woher weiß man, dass der Ausdruck gleich null ist? Vielleicht versteh ich dann auch den Rest des Beweises.

Danke für eure Untersützung.

Picard

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
nicht ausgeartete Bilinearform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:46 Sa 14.02.2015
Autor: angela.h.b.


> Hallo,
>  
> es geht um den Beweis einer Proposition.
>
> Prop: Sei [mm]\beta[/mm] eine Bilinearform auf einem
> endlichdimensionalen [mm]\IK-Vektorraum[/mm] V. Sei
> [mm]B=(v_{1},...,v_{n})[/mm] eine Basis von V, und sei
> [mm]M_{b}(\beta)[/mm] = A die Matrixdarstellung von [mm]\beta[/mm] bzgl. B.


Hallo,

wir sollten bereits an dieser Stelle einhaken und überlegen, was es bedeutet, daß A die Darstellungsmatrix der Bilinearform [mm] \beta [/mm] bzgl. der Basis B ist.

Wenn ich zwei Vektoren [mm] x,y\in [/mm] V habe, kann ich sie schreiben als
[mm] x=\summe_{i=1}^{n} x_{i} v_{i}, [/mm]
[mm] y=\summe_{i=1}^{n} y_{i} v_{i}, [/mm]
[mm] x_i, y_i\in [/mm] K,
ihre Koordinatenvektoren bzgl B sind [mm] x_B=\vektor{x_1\\\vdots\\x_n}, y_B=\vektor{y_1\\...\\y_n}. [/mm]

Was ist nun [mm] \beta(x,y)? [/mm]
Es ist
[mm] \beta(x,y)=\vektor{x_1\\\vdots\\x_n}^TA\vektor{y_1\\...\\y_n}. [/mm]

Das solltest Du im Auge behalten, ebenso, daß [mm] (v_i)_B=e_i. [/mm]


> Folgende Aussagen sind äquivalent:
>  
> 1. [mm]\beta[/mm] ist nicht ausgeartet
>  2. Rg(A)=n
>  
>
> Beweis:
>  [mm]\Rightarrow[/mm]
> Ok diese Beweisrichtung habe ich verstanden
>  
> [mm]\Leftarrow[/mm]
>  ok hier gibts Probleme:
>  Sei Rg(A)=n.

Angenommen, es gibt einen Vektor [mm] v\in [/mm] V, so daß für  alle [mm] w\in [/mm] V gilt: [mm] \beta(v,w)=0. [/mm]
((Ziel: wir zeigen, daß v nur der Nullvektor sein kann.))


Sei [mm]v=\summe_{i=1}^{n} b_{i} v_{i} \in[/mm] V,

> sodass [mm]\beta(v,w)=0[/mm] für alle w [mm]\in[/mm] V. Dann gilt
> insbesondere

[mm] \beta(v,v_i)=0 [/mm] für alle Basisvektoren [mm] v_1,...,v_n, [/mm]

also gilt

> [mm]b^{T}Ae_{i}=0[/mm] für alle Standardbasisvektoren
> [mm]e_{1},...,e_{n}.[/mm]


> Indem wir die Standardbasisvektoren zu
> einer Matrix zusammenfassen, folgt
> [mm]b^{T}AI_{n}=b^{T}A=(0...0).[/mm] Somit gilt
>  [mm]0=Rg((0...0))=Rg(b^{T}A)=Rg(b^{t}).[/mm]
>  Es folgt [mm]b^{t}=(0...0),[/mm] also v=0. Dies beweist Bedingung
> 1. der Definition (Definition für nicht ausgeartete
> Bilinearformen) und analog wird 2. der Definition gezeigt.

Alles klar jetzt?

LG Angela

>  
> Warum gilt  [mm]b^{T}Ae_{i}=0?[/mm] Woher weiß man, dass der
> Ausdruck gleich null ist? Vielleicht versteh ich dann auch
> den Rest des Beweises.
>  
> Danke für eure Untersützung.
>  
> Picard
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
nicht ausgeartete Bilinearform: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:32 Sa 14.02.2015
Autor: Picard

Hallo Angela,

ja jetzt ist es klar. Mir hat der Zwischenschritt  [mm] "...\beta(v,v_{i})=0 [/mm] für alle ..." gefehlt.
Danke für die verständliche Erklärung.

Gruß & Schönes WE
Picard

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de