nicht exakte DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Mo 27.07.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | Weisen sie nach, dass diese DGL nicht exakt ist.
Bestimmen sie ienen integrierenden Faktor , der nur von y abhängt.ö Lösen sie danach die DGL.
[mm] (x+y^{3})dy/dx [/mm] =y |
Mein Problem ist eigtl nur das Lösen der DGL danach.
ich schreibe mal, wie meine vorgehensweise bis dahin ist.
[mm] (x+y^{3})dy [/mm] -ydx=0
A= -y
da/dy= -1
B= [mm] x+y^{3}
[/mm]
db/dx = 1 da 1 ungleich -1 sind sie nicht exakt.
Für den integrierenden Faktor:
es soll gelten:
d(pa)/dy = d(pb)/dx
-> [mm] \bruch{dp}{dy}*A [/mm] + [mm] \bruch{dA}{dy}p [/mm] = [mm] \bruch [/mm] {dB}{dx}p + [mm] \bruch{dp}{dx}B
[/mm]
da p=p(y) -> dp/dx =0
-> einsetzen ergibt
[mm] \bruch{dp}{dy}*-y [/mm] -p = p
-> [mm] \bruch{1}{p} \bruch{dp}{dy} =\bruch{1}{-2y}
[/mm]
-> lnp= -0,5 *ln(2y)
p= [mm] (2y)^{-0,5}
[/mm]
nun weiss ich nicht weiter, was ich damit machen soll um die DGL zu lösen...
Danke für Ideen,
katja
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Hallo katjap,
> Weisen sie nach, dass diese DGL nicht exakt ist.
> Bestimmen sie ienen integrierenden Faktor , der nur von y
> abhängt.ö Lösen sie danach die DGL.
>
> [mm](x+y^{3})dy/dx[/mm] =y
> Mein Problem ist eigtl nur das Lösen der DGL danach.
> ich schreibe mal, wie meine vorgehensweise bis dahin ist.
>
> [mm](x+y^{3})dy[/mm] -ydx=0
>
> A= -y
> da/dy= -1
>
> B= [mm]x+y^{3}[/mm]
> db/dx = 1 da 1 ungleich
> -1 sind sie nicht exakt.
>
> Für den integrierenden Faktor:
>
> es soll gelten:
> d(pa)/dy = d(pb)/dx
>
> -> [mm]\bruch{dp}{dy}*A[/mm] + [mm]\bruch{dA}{dy}p[/mm] = [mm]\bruch[/mm] {dB}{dx}p +
> [mm]\bruch{dp}{dx}B[/mm]
>
> da p=p(y) -> dp/dx =0
>
> -> einsetzen ergibt
> [mm]\bruch{dp}{dy}*-y[/mm] -p = p
>
> -> [mm]\bruch{1}{p} \bruch{dp}{dy} =\bruch{1}{-2y}[/mm]
Das muss hier lauten:
[mm]\bruch{1}{p} \bruch{dp}{dy} =-\bruch{\red{2}}{y}[/mm]
>
> -> lnp= -0,5 *ln(2y)
> p= [mm](2y)^{-0,5}[/mm]
Den integrierenden Faktor mußt Du nochmal nachrechnen.
>
> nun weiss ich nicht weiter, was ich damit machen soll um
> die DGL zu lösen...
>
> Danke für Ideen,
>
> katja
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Mo 27.07.2009 | | Autor: | katjap |
ah ja klar,
aber das hatte ich auf meinem papier auch stehen, habs nur irgendwie beim schnell fuers forum nochmal rechnen irgendwie imkopfe uebersehen.
kannst du mir nun helfen die lösung fuer die dgl zu finden,
da weiss ich immer noch net weiter, auch mit dem richtigen faktor nicht...
danke katja
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Hallo katjap,
> ah ja klar,
>
> aber das hatte ich auf meinem papier auch stehen, habs nur
> irgendwie beim schnell fuers forum nochmal rechnen
> irgendwie imkopfe uebersehen.
>
> kannst du mir nun helfen die lösung fuer die dgl zu
> finden,
> da weiss ich immer noch net weiter, auch mit dem richtigen
> faktor nicht...
Mit dem integrierenden Faktor [mm]p=p\left(y\right)[/mm] ergibt sich
[mm]p*\left(x+y^{3}\right) \ dy - p*y \ dx=0[/mm]
Stellt also ein vollständiges Differnential dar.
Die Lösung ergibt sich dann zu [mm]F\left(x,y\right)=C[/mm]
Vorgehensweise zur Bestimmung von F:
[mm]F_{y}=p*\left(x+y^{3}\right) \Rightarrow F=\integral_{}^{}{p*\left(x+y^{3}\right) \ dy}+C_{1}\left(x\right)[/mm]
Differenziere dann F nach x und vergleiche dies mit [mm]-p*y[/mm]
[mm]\bruch{\partial F}{\partial x}=-p*y[/mm]
Dieses F ist eine implizite Darstellung der Lösungskurve.
Löse dann F nach x oder y auf, um eine explizite Darstellung der Lösung zu bekommen.
>
> danke katja
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Mo 27.07.2009 | | Autor: | katjap |
ich hab das nun mal so probiert:
p= 1/y²
-> [mm] F_y [/mm] = [mm] \bruch{x}{y²} [/mm] +y
[mm] F=\integral_{}^{}{\bruch{x}{y²} dy} [/mm] + 1/2 y²+C(x)
[mm] =-2x/y^{3} [/mm] +0,5 y² +c(x)
[mm] \bruch{df}{dx} [/mm] =-2/y³ +c
vergleich mit -1/y
weiss nun nicht wie ich das c bestimmen soll, dass das gleich ist?
danke fuer die hilfe auf jeden fall
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Hallo katjap,
> ich hab das nun mal so probiert:
>
> p= 1/y²
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> -> [mm]F_y[/mm] = [mm]\bruch{x}{y²}[/mm] +y
[mm]F_{y} = \bruch{x}{y^{2}} +y[/mm]
> [mm]F=\integral_{}^{}{\bruch{x}{y²} dy}[/mm] + 1/2 y²+C(x)
[mm]F=\integral_{}^{}{\bruch{x}{y^{2}} dy}[/mm] + 1/2 [mm] y^{2}+C(x)
[/mm]
> [mm]=-2x/y^{3}[/mm] +0,5 y² +c(x)
Die Stammfunktion von [mm]\bruch{x}{y^{2}}[/mm] in y ist [mm]-\bruch{x}{y}[/mm].
>
> [mm]\bruch{df}{dx}[/mm] =-2/y³ +c
> vergleich mit -1/y
> weiss nun nicht wie ich das c bestimmen soll, dass das
> gleich ist?
>
> danke fuer die hilfe auf jeden fall
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Mo 27.07.2009 | | Autor: | katjap |
hmklar,ok.... au man manchmal passierne einem echt doofe fehler, wenn man zu lange lernt;)
ok, aber hab doch immer noch das problem mit dem x,
kann ihc das so lösen dass c(x,y) = x-1/y -0,5y²
oder wie schaut die konstante dann aus?
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Hallo katjap,
> hmklar,ok.... au man manchmal passierne einem echt doofe
> fehler, wenn man zu lange lernt;)
>
> ok, aber hab doch immer noch das problem mit dem x,
>
> kann ihc das so lösen dass c(x,y) = x-1/y -0,5y²
> oder wie schaut die konstante dann aus?
>
Wir haben
[mm]F\left(x,y\right)=-\bruch{x}{y}+\bruch{y^{2}}{2}+C\left(x\right)[/mm]
Das wird jetzt nach x differenziert:
[mm]\bruch{\partial F}{\partial x}=-\bruch{1}{y}+\bruch{dC}{dx}[/mm]
Vergleich mit [mm]-p*y=-\bruch{1}{y^{2}}*y=-\bruch{1}{y}[/mm]
Daraus folgt dann [mm]\bruch{dC}{dx}=0[/mm]
Woraus dann folgt, daß C eine Konstante ist.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Mo 27.07.2009 | | Autor: | katjap |
ahhhh .... ok
jetzt ist einiges klarer.
dann bedanke ich mich!
gruss
katja
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