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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:41 Mo 11.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | | Beweise: Genau dann hat [mm] \bruch{1}{k} \in \IQ [/mm] (mit k [mm] \in \IN [/mm] \ {0}) eine endliche, abbrechende Darstellung als q-adischer Bruch, wenn für ein n [mm] \in \IN [/mm] die Zahl [mm] q^n [/mm] durch k teilbar ist. |
Hallo.
Also dass das gilt, habe ich an mehreren Aufgaben probiert aber wie beweise ich das allgemein? Kann mir jemand den Anfang nennen?
Danke schonmal.
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Hallo kRAITOS,
> Beweise: Genau dann hat [mm]\bruch{1}{k} \in \IQ[/mm] (mit k [mm]\in \IN[/mm]
> \ {0}) eine endliche, abbrechende Darstellung als
> q-adischer Bruch, wenn für ein n [mm]\in \IN[/mm] die Zahl [mm]q^n[/mm]
> durch k teilbar ist.
>
> Also dass das gilt, habe ich an mehreren Aufgaben probiert
> aber wie beweise ich das allgemein? Kann mir jemand den
> Anfang nennen?
Eigentlich wie immer, wenn "genau dann wenn" auftaucht, also aufteilen in Hin- und Rückrichtung.
Die Rückrichtung [mm] (k|q^n) [/mm] ist leicht zu zeigen.
Die Hinrichtung macht etwas mehr Arbeit.
Mach Dir klar, dass so ein q-adischer Bruch ja auf dem Stellenwertsystem basiert und damit eine abgekürzte Schreibweise darstellt.
Beispiel: [mm] 0,03125_{10}=\bruch{0}{10^1}+\bruch{3}{10^2}+\bruch{1}{10^3}+\bruch{2}{10^4}+\bruch{5}{10^5}=\quad\cdots\quad=\bruch{1}{32}
[/mm]
Interessant ist hier natürlich die Auslassung. 
Soweit zum Ansatz.
Viel Erfolg!
reverend
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> Die Hinrichtung macht etwas mehr Arbeit.
... deshalb wird das dafür zuständige Personal
in den entsprechenden Ländern auch recht gut
besoldet ...
Al
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