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Ich habe gerade ein kleines Verständnisproblem bei der (nicht)trivialen Darstellung.
Wenn ich beweisen will dass Vektoren lin. unabhängig sind, benutze ich doch die nicht-triviale Darstellung, also indem ich die Vektoren gleich Null setze, oder?
Was ist dann die triviale Darstellung und was kann ich damit anfangen?
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Hallo!
Lass Dich nicht von Worten ins Boxhorn jagen! 
Es geht um Folgendes: Gegeben eine Menge von Vektoren [mm] $v_1, \ldots, v_n$ [/mm] eines Vektorraumes, so ist oft die Frage von Bedeutung, ob sich aus diesen der Nullvektor "darstellen" lässt, also ob es eine Linearkombination von diesen gibt, die gleich 0 ist.
Anders gesprochen ist die Frage, ob es Skalare (d.h. Zahlen aus dem Körper) [mm] $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ [/mm] gibt mit
[mm] $\lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 v_2 [/mm] + [mm] \cdots [/mm] + [mm] \lambda_n v_n [/mm] = 0$
Hierbei schreibe ich einfach den Nullvektor auch als 0.
So wie ich die Frage da oben gestellt habe, lautet die Antwort natürlich "Ja, das geht immer." Und wieso? Wenn ich alle Koeffizienten gleich 0 wähle (diesmal ist die 0 im Körper gemeint), dann kommt IMMER der Nullvektor hinten raus, egal was meine Vektoren sind.
Weil das so leicht (trivial) einzusehen ist, nennt man dies auch die "triviale Darstellung" des Nullvektors.
Die Definition sagt nun: die Vektoren [mm] $v_1, \ldots, v_n$ [/mm] sind lienar unabhängig, wenn es NUR DIESE gibt, wenn also die triviale Darstellung die einzige Möglichkeit gibt, den Nullvektor linear aus diesen zu kombinieren.
Auf der anderen Seite sagt man, dass sie linear abhängig sind, wenn es eben noch weitere Möglichkeiten gibt, die man manchmal auch "nicht-triviale" Darstellungen nennt, den Nullvektor zu kombinieren.
Das ist anfangs alles nicht so leicht zu begreifen. Nochmal kurz zusammengefasst: Es gibt immer eine (blöde) Art, den Nullvektor zu bauen, indem man alle Koeffizienten gleich 0 setzt. Wenn es abgesehen von dieser keine andere Art gibt, das zu bewerkstelligen, [mm] hei\ss{}en [/mm] die Vektoren linear unabhängig, andernfalls linear abhängig.
Alles klar? Das ist deshalb so wichtig, weil die Darstellungen von linear unabhängigen Vektoren eindeutig sind. Wenn es also irgendeinen Vektor w gibt und linear unabhängige Vektoren [mm] $v_1, \ldots, v_n$ [/mm] und diese lassen sich zu $w$ kombinieren, etwa
$w = [mm] \mu_1 v_1 [/mm] + [mm] \mu_2 v_2 [/mm] + [mm] \cdots [/mm] + [mm] \mu_n v_n$
[/mm]
wobei die [mm] $\mu_i$ [/mm] irgendwelche Koeffizienten sind, dann folgt aus der linearen Unabhängigkeit relativ direkt, dass diese [mm] $\mu_i$ [/mm] eindeutig bestimmt sind.
Und das ist doch schön zu wissen. 
Liebe Grüße und viel Erfolg weiterhin,
Lars
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Vielen Dank, das hat mir gut weitergeholfen. Manchmal steht ja, sind die Vektoren lin. abhängig? Zeigen Sie durch nichttriviale Darstellung...
Und was ist nun noch das homogene und nicht-homogene Gleichungssystem?
Achja, was mir einfiel bei deiner Ausführung. Dh, wenn ich die Vektoren gleich dem Nullvektor setze und zB in der letzten Zeile 0=0 raus kriege, dann sind die aber linear abhängig, richtig? Weil es unendlich viele Möglichkeiten gibt? Oder wenn ich in der letzten Zeile dann 5=5 stehen habe, dann habe ich keine Lösung und dann?
Hilf mir doch bitte da nochmal auf die Sprünge, wenn du kannst :o) Ich hab so viel gelernt, dass die einfachsten Sachen jetzt irgendwie weg sind.. :o(
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Hallo Englein89,
> Vielen Dank, das hat mir gut weitergeholfen. Manchmal steht
> ja, sind die Vektoren lin. abhängig? Zeigen Sie durch
> nichttriviale Darstellung...
>
> Und was ist nun noch das homogene und nicht-homogene
> Gleichungssystem?
Bei einem homogenen Gleichungssysten ist die rechte Seite gleich dem Nullvektor.
Bei einem inhomogenen Gleichungssystem ist die rechte Seite ungleich dem Nullvektor.
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> Achja, was mir einfiel bei deiner Ausführung. Dh, wenn ich
> die Vektoren gleich dem Nullvektor setze und zB in der
> letzten Zeile 0=0 raus kriege, dann sind die aber linear
> abhängig, richtig? Weil es unendlich viele Möglichkeiten
> gibt? Oder wenn ich in der letzten Zeile dann 5=5 stehen
> habe, dann habe ich keine Lösung und dann?
Im Fall, daß Du in der letzten Zeile [mm]0*x_{n}=0[/mm], ([mm]x_{n}[/mm] ist hier die Variable) stehen hast, gibt es unendlich viele Lösungen. Daher sind die Vektoren linear abhängig.
Der Fall, daß Du in der letzten Zeile [mm]5*x_{n}=5[/mm] kann nur bei einem inhomogenen Gleichungssystemen auftauchen. Somit gibt es eine eindeutig bestimmte Lösung für [mm]x_{n}[/mm].
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> Hilf mir doch bitte da nochmal auf die Sprünge, wenn du
> kannst :o) Ich hab so viel gelernt, dass die einfachsten
> Sachen jetzt irgendwie weg sind.. :o(
Gruß
MathePower
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