(nichtleere) endliche Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Di 12.06.2007 | | Autor: | annklo |
| Aufgabe | 1. Seien A,B,C endliche Mengen. Zeigen Sie: [mm] |(A^{B})^{C}|=|A^{B \times C}|
[/mm]
2. Seien A,B nichtleere endliche Mengen.
Zeigen Sie: (A [mm] \times [/mm] B) \ (B [mm] \times [/mm] A) [mm] \sim [/mm] (B [mm] \times [/mm] A) \ (A [mm] \times [/mm] B). |
Hallo Matheraum,
Diese Aufgabe macht mir Probleme, weil ich [mm] \times [/mm] im Zusammenhang mit Mengen noch nie kennengelernt habe?Die Aufgabe entspricht zwar den "normalen" Potnezgesetzen, aber kann man den Beweis einfach darauf ableiten?
Und auch die Gleichmächitgkeit macht mir noch große Probleme.
Danke schonmal für bemühte Hilfe
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Di 12.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Erstmal ein Paar Definitionen zur Klarheit. |A| ist die Anzahl der Elemente der Menge A, falls A endlich ist (was hier der Fall ist). Die Mächtigkeit von einer endlichen Menge A ist einfach die Anzahl ihrer Elemente, also |A|. Damit sieht 2. etwas freundlicher aus, nämlich:
2. zeige [mm] |(A\times B)\setminus(B\times A)|=|(B\times A)\setminus(A\times [/mm] B)|.
Die Aufgabe ist nichts Weiteres als eine Übung in Kombinatorik. [mm] A^{B} [/mm] sind alle Paare (a,b) mit [mm] a\in [/mm] A und [mm] b\in [/mm] B. [mm] (A^{B})^{C} [/mm] sind alle Tripel ((a,b),c). Du musst nur abzählen wie viele das sind.
Bei 2. muss man aufpassen, ob A und B gemeinsame Elemente haben. Wenn nicht ist 2. äquivalent zu: zeige |AxB|=|BxA| und hoffentlich ist klar warum das stimmt. Wenn sie doch gemeinsame Elemente haben werden sie durch die \ sowohl links als auch rechts rausgeschmissen. Oder wenn a in A und B, und b in B und A liegen, dann ist (a,b) in AxB und (a,b) ist in BxA und (b,a) ist in BxA und (b,a) ist in AxB. Somit werden aus AxB genausoviele Elemente wie aus BxA durch die \ rausgenommen. Und da |AxB|=|BxA| ist auch 2. wahr.
Das ist einfach ein Herumgedreh.
Gruß,
dormant
|
|
|
|
