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Hallo zusammen,
Wenn man z.B. folgendes Gleichungssystem hat:
[mm]I) xy + yz + xz = c[/mm]
[mm]II) yz = \lambda*(y+z)[/mm]
[mm]III) xz = \lambda*(x+z)[/mm]
[mm]IV) xy = \lambda*(x+y)[/mm]
c ist hier eine Konstante, gelöst werden soll nach x,y,z und Lambda.
Wie geht man so was (ohne Maple und von Hand) am besten an (Patentrezept) ? Geht so was überhaupt mit weniger als einer DINA4-Seite ?
Ich hätte jetzt I) nach x aufgelöst, dann in die verbleibenden eingesetzt etc. Das wird aber gegen Ende sehr kompliziert....
mfG
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Do 29.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> c ist hier eine Konstante, gelöst werden soll nach x,y,z
> und Lambda.
> Wie geht man so was (ohne Maple und von Hand) am besten an
> (Patentrezept) ?
Patentrezepte gibt es dafuer im Allgemeinen nicht (jedenfalls soweit ich weiss). Man muss von Fall zu Fall unterscheiden - am besten ist es, hier nach moeglichen Vereinfachungen zu suchen, also Linearkombination der Gleichungen, die dann eine besonders einfach Form haben.
> Geht so was überhaupt mit weniger als
> einer DINA4-Seite ?
Ja, aber die Frage ist schon komisch ...
>
> Ich hätte jetzt I) nach x aufgelöst, dann in die
> verbleibenden eingesetzt etc. Das wird aber gegen Ende sehr
> kompliziert....
suche nach Vereinfachungen! Als Hinweis ziehe doch mal die dritte Gleichung von der ersten ab. was erhaelst du dann? Welche Faelle musst du nun unterscheiden? Jetzt mache das mal mit den anderen.
SEcki
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Irgendwie liegt mir sowas überhaupt nicht... also ich hab jetzt mal gerechnet:
[mm]I-II: xy+xz=c-\lambda*(y+z) \Rightarrow x=c/(y+z) - \lambda[/mm] da x,y,z positiv sind in der Aufgabe
[mm]I-III \Rightarrow y=c/(x+z)-\lambda[/mm]
[mm]I-IV \Rightarrow z=c/(x+y)-\lambda[/mm]
Jetzt hab ich aber 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten... Beim ersten Schritt (Verwendung der 1. Gleichung) sollte doch eine eliminiert werden, oder nicht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:02 Do 29.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> [mm]I-II: xy+xz=c-\lambda*(y+z) \Rightarrow x=c/(y+z) - \lambda[/mm]
> da x,y,z positiv sind in der Aufgabe
Argh, sorry - ichmeinte die dritte von der zweiten Gleichung abziehn. Das, was da steht, ist wohl nicht sehr vielversprechend ...
SEcki
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:34 Fr 30.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Daniel!
Da $x$, $y$ und $z$ positiv sind, kannst du aus (II)-(IV) unter der temporären Annahme [mm] $\lambda \ne [/mm] 0$ leicht
$x=y=z [mm] \ne [/mm] 0$
folgern. Versuche das bitte mal selber, ist recht einfach.
Dann folgt mit (I)
$x =y=z = [mm] \sqrt{ \frac{c}{3}}$.
[/mm]
So, jetzt noch den Fall [mm] $\lambda=0$, [/mm] aber der führt zum Glück zu keiner Lösung (da ja bei $x$, $y$ und $z$ Positivität vorausgesetzt war, wie du meintest)
Liebe Grüße
Julius
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Hallo Julius,
danke für deine Antwort. Ich schreib jetzt noch mal als "Abschluss" des Themas den Weg (hoffentlich richtig  ) auf:
Da [mm]x,y,z \not= 0[/mm] sind, folgt z.B. aus (II), dass [mm]\lambda \not= 0[/mm] ist.
(II-IV):[mm]y*(z-x)=\lambda*(z-x) \Rightarrow (y=\lambda) \vee (z-x=0)[/mm] Angenommen, [mm]y=\lambda[/mm], so würde (II) lauten
[mm]yz=y^2 + yz \Rightarrow y^2=0[/mm] Widerspruch! Also gilt x=z.
(Mit (III) folgt daraus [mm]\lambda=\bruch{x}{2}[/mm].)
(II-III):[mm]z*(y-x)=\lambda*(y-x) \Rightarrow (z=\lambda) \vee (y-x=0)[/mm] Erste Möglichkeit im Widerspruch zu (III), deshalb y=x=z.
In (I) einsetzen: [mm]3*x^2=c \Rightarrow x=\bruch{\wurzel{3*c}}{3}[/mm]
Stimmt auch mit Maple überein  Vielen Dank nochmal,
mfG
Daniel
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