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nichtrationale Funktion: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:19 Sa 03.02.2018
Autor: Mathilda1

Aufgabe
Gegeben ist die Funktion f(x) = x - ln(x)
a) In welchem Punkt hat der Graph den Anstieg m = -e? Gibt es Punkte mit dem Anstieg e?
b) Vorm Ursprung aus soll eine Tangente an einen weiteren Punkt P des Graphen von f gelegt werden. Ermitteln Sie die Koordinaten von P.
c) Ergibt sich aus der Funktion g mit g(x) = x*ln(x)-x die Ableitungsfunktion von h mit h(x) = ln(x)?
d) Der Graph von f schließt mit der x-Achse und den Geraden mit den Gleichungen x=1 und x=e eine Fläche ein. Berechneten Sie den Inhalt dieser Fläche.

Leider weiß ich nicht so recht, wie ich hier vorgehen soll.
Ich bin für jeden Tipp dankbar.

        
Bezug
nichtrationale Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:04 Sa 03.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Gegeben ist die Funktion f(x) = x - ln(x)
> a) In welchem Punkt hat der Graph den Anstieg m = -e? Gibt
> es Punkte mit dem Anstieg e?

Leite deine Funktion einmal ab, setze die Ableitung mit dem Wert -e gleich und überlege dir, weshalb diese (gebrochen-rationale!) Ableitung im Definitionsbereich deiner Funktion den Wert e nicht annehmen kann. Dieser zweite Teil ist eine Aufgabe zum Argumentieren, nicht zum Rechnen!

> b) Vorm Ursprung aus soll eine Tangente an einen weiteren
> Punkt P des Graphen von f gelegt werden. Ermitteln Sie die
> Koordinaten von P.

Bilde mit Hilfe der Ableitung aus Teil a) die allg. Tangentengleichung

t: y=f'(u)*(x-u)+f(u),

setze die Koordinaten des Ursprungs ein und löse nach u auf.

> c) Ergibt sich aus der Funktion g mit g(x) = x*ln(x)-x die
> Ableitungsfunktion von h mit h(x) = ln(x)?

Hast du das wörtlich abgetippt? Falls ja, dann ist es unglücklich formuliert. Die gegebene Funktion g ist eine Stammfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion und dass sollst du nachrechnen, indem du g'(x)=h(x) zeigst, und dazu musst du g(x) ableiten.

> d) Der Graph von f schließt mit der x-Achse und den
> Geraden mit den Gleichungen x=1 und x=e eine Fläche ein.
> Berechneten Sie den Inhalt dieser Fläche.

Um eine Stammfunktion von f(x) u finden, verwende die Erkenntnisse aus Aufgabe c).


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
nichtrationale Funktion: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:12 Mo 12.02.2018
Autor: Mathilda1

Aufgabe
Vom Ursprung aus soll eine Tangente an einen weiteren Punkt P des Graphen von f gelegt werden. Ermitteln Sie die Koordinaten von P.

Bisher bin ich so weit gekommen: diese Tangente müsste die Gleichung y=mx haben
Für x ist bei mir 0 rausgekommen.
Laut Lösung müsste aber x=e rauskommen. Wo liegt nun der Fehler?

Vielen Dank.

Bezug
                        
Bezug
nichtrationale Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:25 Mo 12.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Vom Ursprung aus soll eine Tangente an einen weiteren Punkt
> P des Graphen von f gelegt werden. Ermitteln Sie die
> Koordinaten von P.
> Bisher bin ich so weit gekommen: diese Tangente müsste
> die Gleichung y=mx haben

Das ist korrekt, aber eigentlich von vornherein klar. [ok]

> Für x ist bei mir 0 rausgekommen.

Falls du mit x die x-Koordinate von P meinst, so ist das falsch. Das kann schon von daher nicht sein, als x=0 gar nicht im Definitionsbereich dieser Funktion liegt (da ist auch der Aufgabentext auch bei Teilaufgabe b) ziemlich verunglückt, weil da von einem weiteren Punkt P gesprochen wird, was natürlich Unsinn ist, denn P wird der einzige gemeinsame Punkt von Kurve und Tangente sein).

> Laut Lösung müsste aber x=e rauskommen. Wo liegt nun der
> Fehler?

Also alles was recht ist: wenn wir hier Fehler aufzeigen sollen, dann benötigen wir dazu eine Rechnung.


Gruß, Diophant

Bezug
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