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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - noethersch/ Untermodul
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noethersch/ Untermodul: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:17 Di 28.11.2017
Autor: mimo1

Aufgabe
Zeige, ist [mm] X\subseteq \IZ^n [/mm] eine beliebige Teilmenge von [mm] \IZ^n, [/mm] so gibt es immer eine endliche Teilmenge [mm] \lbrace x_1,...,x_k\rbrace [/mm] von X, so dass jedes Element von X eine Linearkombination von [mm] x_1,....,x_k [/mm] mit ganzzahligen Koeffizienten ist.


Hallo miteinander,


zu zeigen ist: Es ex. [mm] x_1,....,x_n\in [/mm] X: [mm] M=\langle x_1,...,x_n\rangle_{\IZ} [/mm]
[mm] \IZ^n [/mm] ist noethersch, da wie [mm] \IZ^n=\IZ\oplus....\oplus\IZ [/mm] und wir wissen dass [mm] \IZ [/mm] noethersch ist. Aus der VL wissen wir außerdem: Wenn [mm] M_1,...,M_n [/mm] noethersch sind dann ist auch [mm] M_1\oplus....\oplus M_n [/mm] noethersch

[mm] \Rightarrow \IZ^n [/mm] noethersch

[mm] M\leq \IZ [/mm] , M Untermodul [mm] \Rightarrow [/mm] M endlich erzeugt
[mm] \Rightarrow m_1,...,m_l\in [/mm] M

irgendwie komme ich nicht weiter. könnte mir da jemand weiterhelfen?
Danke!



        
Bezug
noethersch/ Untermodul: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:22 Di 28.11.2017
Autor: UniversellesObjekt

Überlege dir das folgende nützliche Lemma: Besitzt ein Modul $M$ ein endliches Erzeugendensystem, so kann jedes Erzeugendensystem von $M$ zu einem endlichen verkleinert werden. Die analoge Aussage gilt für Gruppen, Körper, ...

Wende das auf den von $X$ erzeugten Untermodul an.

Liebe Grüße
UniversellesObjekt

Bezug
        
Bezug
noethersch/ Untermodul: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:33 Di 28.11.2017
Autor: mimo1

Meinst du damit, dass man der vonX erzeugte Untermodul [mm] \langle X\rangle_{\IZ} \subseteq \IZ^n [/mm] de kleinste [mm] \IZ-Untermodul [/mm]  ist, der X enthält, also

[mm] \langle X\rangle_{\IZ}=\lbrace \sum_{i=1}^n a_i\in\IZ [/mm] und [mm] x_i\in X\rbrace [/mm]

Bezug
                
Bezug
noethersch/ Untermodul: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:58 Di 28.11.2017
Autor: UniversellesObjekt

Das ist kein Satz.

Ich meine, dass du dir [mm] $\langle X\rangle$ [/mm] angucken sollst. Da [mm] $\IZ^n$ [/mm] noethersch ist, gibt es ein endliches Erzeugendensystem für [mm] $\langle X\rangle$. [/mm] Darauf sollst du mein Lemma anwenden (das du zunächst beweisen sollst) und dann mal sehen, was sich so ergibt.

Liebe Grüße
UniversellesObjekt

Bezug
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