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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:53 Di 28.11.2006 | | Autor: | AriR |
Hey leute,
gucke mir gerade ein numerik buch an, indem die kondition folgendermaßen definiert wird:
[mm] k_{abs}=\parallel f'(x)\parallel
[/mm]
[mm] k_{rel}=\parallel\bruch{\parallel x\parallel}{\parallel f(x)\parallel}\parallel
[/mm]
wobei f'(x) die Jacobi-Matrix von f sein soll.
meine frage ist nun, welche norm genau mit [mm] \parallel*\parallel [/mm] gemeint ist. jede norm würde doch zu einem anderen ergebnis führen, also müsste diese doch festgelegt sein oder nicht?
wäre euhc echt dankbar, wenn ihr mir da weiterhelfen könntet.
Gruß Ari
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Hallo Ari,
Die Kondition ist i.A. normabhängig.
Unterschiedliche Normen -> unterschiedliche Konditionszahlen
Wenn Du Konditionszahlen vergleichen willst sollten die also mit der selben Norm zusammenhängen.
viele grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Di 28.11.2006 | | Autor: | AriR |
veränder auch verschiedene normen nicht den eigentlihc sinn der konditionen?
wenn man zB norm A und B hat. Dann hat die Konditionszahl doch unter Norm A vielleicht eine ganz andere bedeutungs als unter Norm B.
würde man zB die Zeilensummennorm als die unendlichnorm zugrunde legen, glaub ich würde man einfach mit der schlechtesten kondition rechnen, für alle komponenten der eingabedaten, würde man jedoch die spaltensummennorm nehmen, erkenne ich keinen wirklichen zusammenhang zu dem eigentlich problem der fehlerabschätzung. was hätte diese konditionszahl dann überhaupt für eine aussage?
ich hoffe du verstehst was ich meine und kann mir nochmal weiterhelfen.
Vielen dank außerdem für die vielen hilfen in letzter zeit.
gruß ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Di 28.11.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
Es stimmt zwar, dass der Wert der Kondition einer Matrix nicht immer der selbe ist. Deswegen soll man die Kondition zweier Matrizen immer bzgl. der selben Norm vergleichen. In diesem Sinn kann man mit der Kondition eine relative Aussage treffen - A hat eine bessere Kondition als B.
Aufgrund der Equivalenz von Normen (zu zwei Normen [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{1} [/mm] und [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{2} [/mm] findet man immer Konstanten [mm] c\le [/mm] C, so dass [mm] c\parallel A\parallel_{1}\le\parallel A\parallel_{2}\le C\parallel A\parallel_{1} [/mm] für alle A gilt) kann man sicher sein, dass sich die Normwerte ein und der selben Matrix bzgl. verschiedener Normen um höchstens einer Konstante unterscheiden. Somit ist es gerechtfertigt, dass die Wahl der konkreten Norm bei der Ausrechnung der Kondition, nicht so wichtig ist.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Di 28.11.2006 | | Autor: | AriR |
asoo also verwendet man diese konditionen nur um gewissen algorithmen oder ähnlihce miteinander zu vergleichen?
man könnte doch aber auch eine geeignete norm nehmen und dann eine fehlerabschätzung bekommen, mit der man auch was anfangen kann oder irre ich mich da? da müsste man aber drauf achten, welche norm zugrunde liegt, damit man weiß, was die ausgerechnete zahl für eine bedeutung hat oder?
gruß ari
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Di 28.11.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
Mit Konditionen will man eigentlich feststellen wie anfällig das Problem (nicht das Verfahren) auf Sachen wie Auslöschung ist - je höher die Kondition, desto anfälliger. Das ist gut, um bestimmen zu können welches Verfahren für ein gebenes Problem geeignet ist.
Außerdem schaut man bei der Entwicklung numerischer Verfahren, dass es nicht dazu kommen kann, dass man als Input ein gut-konditioniertes Problem bekommt und im Laufe des Verfahrens sich die Kondition verschlechtert (typisches Beispiel dafür wäre die LR-Zerlegung).
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Di 28.11.2006 | | Autor: | AriR |
müsste man demnach dann nicht eine "große" bzw "kleine" kondition nicht für jede norm "definierten"
also groß und klein ist ja immer relativ, aber würde man diese 2 begriffe definieren, müsste man ja dann diese für jede norm eingenständig machen, es kann ja vorkommen, dass
die kondition bzgl norm 1 zB 50mal größer ist als bzgl. norm 2 oder?
wie löst man dann dieses problem?
nochmals vielen dank für die viele hilfe =)
Gruß Ari
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Hallo Ari,
Die Konditionszahl drückt ja aus wie ein Rundungsfehler in den Eingangsdaten sich auf die Ausgangsdaten auswirkt. Wenn meine Aus-/Eingangsdaten als Vektor vorliegen wäre diese Fehlerverstärkung(in erster Ordnung) die Jacobimatrix. Mist jetzt hat man eine Matrix( sagen wir mal bspw. Dimension 1000x1000) Die kann sich ja keine Sau angucken. Problemlösung:
Betrachte die Norm der Matrix. Norm klein -> Fehlerverstärkung gering.
Wie bei allen Modellvereinfachungen kommt es dabei zu dem von dir beschriebenen Modellierungsfehler( bzw. dem Normproblem). Betrachtest du die ganze Matrix sind nat. genauere Aussagen möglich. Das wird aber unhandlich.
Genaugenommen beginnt die Vereinfachung schon bei der Beschreibung des Fehlers der Eingangsdaten. Auch hier kommt man durch unterschiedliche Normen auf unterschiedliche Fehler. Genauso bei den Ausgangsdaten.
Die Aussage Konditionszahl > 1.000.000.000 -> Problem ist schlecht konditioniert -> Rechnung sinnlos ist ohnehin schwer möglich. Man könnte ja auch die Maschinengenauigkeit(also die Darstellbarkeit der Eingangsdaten) erhöhen, bzw. sich fragen wie genau man die Ausgangsdaten denn braucht.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Mi 29.11.2006 | | Autor: | AriR |
asooo, was ich dann aber nicht genau verstehe ist:
wenn ich die kondition habe und ich diese nicht genau interpretieren kann, wie mache ich dann mit hilfe diese kondition aussagen über die fehlerabschätzung?
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Hallo Ari,
Du bekommst eine Fehlerabschätzung bezgl. der entsprechenden Norm. Sei [mm] $\Delta [/mm] f$ der Fehler von f(x) und [mm] $\Delta [/mm] x$ der Fehler von x dann gilt:
[mm] $\Delta [/mm] f [mm] \approx f^{'}(x) \cdot \Delta [/mm] x$
[mm] $\|\Delta [/mm] f [mm] \| \le\| f^{'}(x)\| \cdot \|\Delta x\|$
[/mm]
Der Fehler in f ist also kleiner(wenn man quadratische Einflüsse wegläßt bzw. 'lokal' betrachtet) als Norm f' mal Fehler von x.
Wie beschrieben ist das halt "nur" eine Abschätzung bezgl. der gewählten Norm. Um Vergleichbarkeit zu haben bietet sich die Maximum-Norm an, wegen der Unabhängigkeit von der Dimension des Problems. Dann gilt [mm] $\|\Delta x\|_{\infty}=\varepsilon$ [/mm] (eps=![[]](/images/popup.gif) Maschinengenauigkeit) Es können aber je nach Anwendung auch andere Normen sinnvoll sein.
viele grüße
mathemaduenn
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