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| Aufgabe | | Sei K ein Körper der Charakteristik p>0 und sei L = K[x] [mm] \supset [/mm] K eine Erweiterung, die von einem rein inseparablen Element x [mm] \in [/mm] L erzeugt wird, das heißt [mm] (x^p)^e \in [/mm] K für ein e [mm] \in [/mm] N. Zeigen Sie, dass L [mm] \supset [/mm] K normal ist. |
Hallo,
Damit eine Erweiterung normal ist, muss sie ja zum Einen algebraisch sein, zum Anderen zerfällt ein irredduzibles Polynom f [mm] \in [/mm] K[X], wenn es eine Nullstelle in L besitzt, über L in Linearfaktoren (so lautet zumindest unsere Definition).
Wenn ich mir jetzt meine Körpererweiterung anschaue, so wird doch lediglich ein Element adjungiert, oder? - was bedeutet denn "rein" separable in diesem Zusammenhang?
Kann ich iwie damit argumentieren, dass [mm] (x^p)^e [/mm] über L immer algebraisch in K bleibt? (ich weiß zwar nicht wieso, aber es wird ja wahrscheinlich so sein).
Wie ihr seht, komme ich bei dieser Aufgabe nicht wirklich weiter. Ich würde mich sehr über etwas Hilfe freuen!
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mo 11.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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