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| Aufgabe | Sei U eine Teilmenge von F, wobei F eine freie Menge ist. R ist eine weitere Teilmenge von F.
Zeige, dass U = { [mm] \produkt_{i=1}^{k} f_i^{-1} \, r_i^{\varepsilon_i} \, f_i \mid f_i \in [/mm] F, [mm] r_i\in [/mm] R, [mm] \varepsilon_i [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1, k [mm] \ge [/mm] 0} eine normale Untergruppe ist. |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hatte die Frage allerdings schon mal auf dieser Seite gestellt, da wurde sie nicht beantwortet (kann aber daran liegen, dass ich sie in einer anderen Diskussion angehangen hab), deswegen versuch ichs nochmal.
Ich hab das so gelöst, bin mir aber nicht sicher, ob das stimmt:
Untergruppeneigenschaften nachprüfen:
(1) Mit einem Element [mm] f_i^{-1}r_i^{\varepsilon_i} f_i \in [/mm] U ist auch das Inverse dazu in U, denn [mm] (f_i^{-1}r_i{\varepsilon_i} f_i )^{-1} [/mm] = [mm] f_i^{-1}r_i^{- \varepsilon_i} f_i \in [/mm] U trivialerweise.
Mit zwei Elementen [mm] f_1^{-1}r_1^{\varepsilon_1} f_1 [/mm] und [mm] f_2^{-1}r_2^{\varepsilon_2} f_2 [/mm] ist auch ihr Produkt drin, ist ja durch das Produktzeichen davor auch trivial.
(2) Normalteilereigenschaft:
Es muss gelten: Für alle [mm] f\in [/mm] F muss [mm] ff_i^{-1}r_i^{\varepsilon_i} f_i f^{-1} [/mm] wieder in U sein. Ist auch trivial , wegen Produktzeichen, oder?
Keine Ahnung, ob ich mir da zu wenig Arbeit gemacht hab oder einfach nur schwammig argumentiert, aber ich hab irgendwie Zweifel, dass das so stimmt.
Kann da jemand von euch nochmal drüber gucken? Wäre super :)
Vielen Dank im Voraus,
lg
FlowerJ.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:03 Di 23.06.2009 | | Autor: | statler |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Guten Morgen!
> Sei U eine Teilmenge von F, wobei F eine freie Menge ist. R
> ist eine weitere Teilmenge von F.
Was ist denn eine freie Menge?
> Zeige, dass U = { [mm]\produkt_{i=1}^{k} f_i^{-1} \, r_i^{\varepsilon_i} \, f_i \mid f_i \in[/mm]
> F, [mm]r_i\in[/mm] R, [mm]\varepsilon_i[/mm] = [mm]\pm[/mm] 1, k [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0} eine normale
> Untergruppe ist.
Was ist denn die Gruppe, in der es Untergruppe sein soll?
> Ich hab das so gelöst, bin mir aber nicht sicher, ob das
> stimmt:
>
> Untergruppeneigenschaften nachprüfen:
> (1) Mit einem Element [mm]f_i^{-1}r_i^{\varepsilon_i} f_i \in[/mm]
> U ist auch das Inverse dazu in U, denn
> [mm](f_i^{-1}r_i{\varepsilon_i} f_i )^{-1}[/mm] = [mm]f_i^{-1}r_i^{- \varepsilon_i} f_i \in[/mm]
> U trivialerweise.
Aber ein Element in U ist ein Produkt.
> Mit zwei Elementen [mm]f_1^{-1}r_1^{\varepsilon_1} f_1[/mm] und
> [mm]f_2^{-1}r_2^{\varepsilon_2} f_2[/mm] ist auch ihr Produkt drin,
> ist ja durch das Produktzeichen davor auch trivial.
So trivial denn doch wieder nicht, weil 2 allgemeine Elemente eben anders aussehen.
> (2) Normalteilereigenschaft:
> Es muss gelten: Für alle [mm]f\in[/mm] F muss
> [mm]ff_i^{-1}r_i^{\varepsilon_i} f_i f^{-1}[/mm] wieder in U sein.
> Ist auch trivial , wegen Produktzeichen, oder?
s. o.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo!
Eine freie Gruppe F (X) (hier mit Basis X, wobei X [mm] \subset [/mm] F) ist eine Gruppe, für die gilt:
Für jede beliebige Abbildung und jede Gruppe [mm] \varphi: [/mm] X [mm] \to [/mm] G,
gibt es eine eindeutigen Homomorphismus [mm] \varphi': [/mm] F [mm] \to [/mm] G, wobei [mm] \varphi' [/mm] eingeschränkt af X = [mm] \varphi [/mm] sein muss.
R
Hmm.. Ja das Produktzeichen hat mich durcheinander gebacht.
Eigentlich ist das auf der rechten Seite (bzw. ist zu zeigen, dass) der normale Abschluss einer Menge R (wobei R [mm] \subset [/mm] F), d.h. der von R erzeugte Normalteiler in F (X).
Hmm....
Kannst du oder jemand anders viell. den Anfang machen und ich versuchs dann weiter? (untergruppeneigenschaft für Menge rechts, also U in F (X) ist zu zeigen, plus Normalteilereigenschaft)
Steh grad auf dem Schlauch (zumindest was die Eigenschaften der Untergruppe angehen, wenn ich sie voraussetze, dann kann ich doch zeigen, dass [mm] fUf^{-1} \in [/mm] U, wobei ich U durch ein beliebiges Element, also einem Produkt, aus U ersete (muss ja für alle u [mm] \in [/mm] U gelten) da ich das f in das produktzeichen reinziehen kann und f multipliziert einem [mm] f_i [/mm] ergibt ja wieder ein Element aus der Gruppe F (wegen Abgeschlossenheit bezüglich Multiplik. von F) und bei [mm] f^{-1} [/mm] multipliziert mit f genau dasselbe. Oder?)
Danke schonmal!
Lg, Julia
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Do 25.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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