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| Aufgabe | Sei p>2 eine Primzahl, sodass auch q=2*p-1 Primzahl ist.
z.z: In jeder Gruppe der Ordnung 2*p*q gibt es eine normale Untergruppe U der Ordnung p*q. Wie viele Homomorphismen von [mm] \IZ/2\IZ [/mm] in Aut(U) gibt es? |
Hallo,
ich komme bei folgender Aufgabe einfach nicht vorwärts. Anschaulich ist es recht klar, z.B. für p=3 erhält man q=5 usw.
Für die erste Teilaussage habe ich schon versucht, die Sylowsätze anzuwenden, jedoch erfolglos.
Hat jemand einen Tipp?
Gruß, chkirsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 Mi 07.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo chkirsch
> Sei p>2 eine Primzahl, sodass auch q=2*p-1 Primzahl ist.
> z.z: In jeder Gruppe der Ordnung 2*p*q gibt es eine
> normale Untergruppe U der Ordnung p*q. Wie viele
> Homomorphismen von [mm]\IZ/2\IZ[/mm] in Aut(U) gibt es?
>
> ich komme bei folgender Aufgabe einfach nicht vorwärts.
> Anschaulich ist es recht klar, z.B. für p=3 erhält man q=5
> usw.
> Für die erste Teilaussage habe ich schon versucht, die
> Sylowsätze anzuwenden, jedoch erfolglos.
> Hat jemand einen Tipp?
Nun, es reicht einmal voellig aus zu zeigen, dsas es eine Untergruppe der Ordnung $p [mm] \cdot [/mm] q$ gibt: da diese Index 2 hat ist sie automatisch ein Normalteiler.
So, und jetzt zu Sylow. Was hast du denn ueber die $p$-Sylow- und die $q$-Sylow-Untergruppen herausbekommen?
(Den Fall $p = 3$ musst du uebrigens etwas gesondert behandeln; ist $p > 3$, so bekommst du sehr schnell ein Ergebnis.)
LG Felix
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Hallo,
nun eigeentlich folgt schon aus dem 1.Sylowsatz mehr oder weniger, dass es eine solche Gruppe geben muss.
Da 2*p*q und p, q prim habe ich die erste Voraussetzung des 1.Sylowsatzes. Aber woher weiß ich, dass p nicht Teiler von 2*(2p-1) = 4*p-2 ist? OK, es ist p nicht Teiler von 2*q, da p>2 und somit auch q >2 vorausgestzt und da q prim kann es kein Teiler von p sein. Aber wie zeigt man dies, wenn man den Ausdruck für q einsetzt???
Dann gibt es nach dem 1.Sylowsaatz aber eine Untergruppe der Ordnung p. Wie zeige ich nun, das es auch solche der Ordung p*q gibt?
Würde mich über Feedback freuen!
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:18 Mo 12.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> nun eigeentlich folgt schon aus dem 1.Sylowsatz mehr oder
> weniger, dass es eine solche Gruppe geben muss.
Wieso das?
> Da 2*p*q und p, q prim habe ich die erste Voraussetzung
> des 1.Sylowsatzes.
Danach gibt es eine Untergruppe der Ordnung $p$, und eine der Ordnung $q$. Aber warum gibt es deswegen eine der Ordnung $p [mm] \cdot [/mm] q$?
> Aber woher weiß ich, dass p nicht Teiler
> von 2*(2p-1) = 4*p-2 ist?
Weil $q = 2 p - 1$ eine Primzahl ist, die von $p$ verschieden ist, ebenso wie 2 von $p$ verschieden ist.
> Dann gibt es nach dem 1.Sylowsaatz aber eine Untergruppe
> der Ordnung p. Wie zeige ich nun, das es auch solche der
> Ordung p*q gibt?
Nun, das ist ja gerade der springende Punkt. Mach doch mal mit dem weiter was ich gesagt hat, sprich finde alles heraus was du mit den Sylow-Saetzen ueber die $p$- und $q$-Sylow-Untergruppen herausfinden kannst.
LG Felix
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Hallo,
ja, aber das ist der Punkt, der mir momentan nicht klar ist. Ich weiß, dass mind. eine Gruppe der Ordnung p und eine der Ordnung q existiert.
Und wie folgere ich nun die Existenz der Gruppe der Ordnung pq?
Könntest du mir dabei noch helfen? Ich stehe gerade auf dem Schlauch!
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Mo 12.01.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> ja, aber das ist der Punkt, der mir momentan nicht klar
> ist. Ich weiß, dass mind. eine Gruppe der Ordnung p und
> eine der Ordnung q existiert.
> Und wie folgere ich nun die Existenz der Gruppe der
> Ordnung pq?
Mein Vorschlag, der vielleicht von Felix' Strategie abweicht: Versuch mal zu zeigen, daß mindestens eine dieser beiden U-Gruppen ein Normalteiler ist. Du weißt außerdem, wie Gruppen von Primzahlordnung aussehen. Dann müßtest du eine U-Gruppe der Ordnung pq explizit hinschreiben können.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Mo 12.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Dieter
> > ja, aber das ist der Punkt, der mir momentan nicht klar
> > ist. Ich weiß, dass mind. eine Gruppe der Ordnung p und
> > eine der Ordnung q existiert.
> > Und wie folgere ich nun die Existenz der Gruppe der
> > Ordnung pq?
>
> Mein Vorschlag, der vielleicht von Felix' Strategie
> abweicht: Versuch mal zu zeigen, daß mindestens eine dieser
> beiden U-Gruppen ein Normalteiler ist. Du weißt außerdem,
> wie Gruppen von Primzahlordnung aussehen. Dann müßtest du
> eine U-Gruppe der Ordnung pq explizit hinschreiben können.
Das ist so gut wie meine Strategie :)
Wenn man naemlich zwei Untergruppen $U, V$ hat und eine davon normal ist, dann ist $U V = [mm] \{ u v \mid u \in U, v \in V \}$ [/mm] ebenfalls eine Untergruppe der Ordnung $|U V| = |U| [mm] \cdot [/mm] |V|$.
LG Felix
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Hallo,
nach intensiver Auseinandersetzung mit diesem Thema ist es mir jetzt auch klar. Ich danke euch für eure Hilfe!
Gruß
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