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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - normierte Vektorräume
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normierte Vektorräume: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:40 Mo 09.06.2014
Autor: Sandra_161

Hallo zusammen, ich beschäftige mich zurzeit mit dieser Aufgabe:

Es sei (V,||*||) ein normierte Vektorraum und [mm] K\subset [/mm] V kompakt, [mm] A\subset [/mm] K. Zu zeigen ist, dass A genau dann kompakt ist, wenn A abgeschlossen ist.


Mein Ideen wären hierzu,

A wäre genau dann kompakt, wenn jede offene Überdeckung [mm] {F_{i}; i \in I} [/mm] von A eine endliche Teilüberdeckung besitzt, d.h., es gibt ein endliches J [mm] \subset [/mm] I mit A [mm] \subset U_{j\inJ}F_{j} [/mm]

Kann ich davon ausgehen, dass x ein Häufungspunkt von A ist, sodass eine Folge [mm] (x_{k})_{k}\ge [/mm] 1 in A mit [mm] x_{k} \to [/mm] x für k [mm] \to \infty [/mm] geht. Und somit konvergiert auch jede Teilfolge gegen x, somit ist A abgeschlossen.

Ist das so richtig oder bin auch der falschen Spur ?


        
Bezug
normierte Vektorräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:26 Di 10.06.2014
Autor: fred97


> Hallo zusammen, ich beschäftige mich zurzeit mit dieser
> Aufgabe:
>
> Es sei (V,||*||) ein normierte Vektorraum und [mm]K\subset[/mm] V
> kompakt, [mm]A\subset[/mm] K. Zu zeigen ist, dass A genau dann
> kompakt ist, wenn A abgeschlossen ist.
>
>
> Mein Ideen wären hierzu,
>  
> A wäre genau dann kompakt, wenn jede offene Überdeckung
> [mm]{F_{i}; i \in I}[/mm] von A eine endliche Teilüberdeckung
> besitzt, d.h., es gibt ein endliches J [mm]\subset[/mm] I mit A
> [mm]\subset U_{j\inJ}F_{j}[/mm]

Du meinst sicher:  [mm]A \subset\bigcup_{j \in J}^{}F_{j}[/mm]



>  
> Kann ich davon ausgehen, dass x ein Häufungspunkt von A
> ist, sodass eine Folge [mm](x_{k})_{k}\ge[/mm] 1 in A mit [mm]x_{k} \to[/mm]
> x für k [mm]\to \infty[/mm] geht. Und somit konvergiert auch jede
> Teilfolge gegen x, somit ist A abgeschlossen.
>
> Ist das so richtig oder bin auch der falschen Spur ?

So richtig falsch ist das nicht, aber schlampig. Du setzt also voraus, dass A kompakt ist und nimmst eine konvergente Folge [mm] (x_k) [/mm] aus A her mit Gernzwert x.

Zu zeigen ist: x [mm] \in [/mm] A.

Da A kompakt ist, enthält [mm] (x_k) [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] (x_{k_j}) [/mm] mit [mm] \limes_{j\rightarrow\infty}x_{k_j} \in [/mm] A.

Wegen x= [mm] \limes_{j\rightarrow\infty}x_{k_j}, [/mm] ist x [mm] \in [/mm] A.

Das war die eine Richtung.



Zeigen musst Du noch: A abgeschlossen [mm] \Rightarrow [/mm]  A kompakt.

FRED

>  


Bezug
                
Bezug
normierte Vektorräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:30 Mi 18.06.2014
Autor: Sandra_161

Kann ich davon ausgehen, dass A vollständig ist und a [mm] \in \overline{A} [/mm] existiert. Dann gibt es eine Folge [mm] (x_{j}) \in A^{\IN} [/mm] mit  [mm] (x_{j})\to [/mm] a
Insbesondere ist [mm] (x_{j}) [/mm] Cauchy- Folge, konvergiert gegen einen Punkt a* [mm] \in [/mm] A
Notwendigerweise ist dann a*=a, also [mm] a\in [/mm] A also A abgeschlossen.
Sei nun  umgekehrt A abgeschlossen, und sei [mm] (x_{j})\in A^{\IN} [/mm]  Cauchyfolge.
Da (V, ||*||) als endlich dimensionaler Raum vollständig ist, konvergiert [mm] (x_{j}) [/mm] gegen einen Punkt a [mm] \in [/mm] V; wegen Abgeschlossenheit von A gilt [mm] a\in [/mm] A. Also ist A vollständig.


Kann ich den ersten Teil dieser Aufgabe auch so lösen ?

Danke im Voraus!!

Bezug
                        
Bezug
normierte Vektorräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:53 Mi 18.06.2014
Autor: fred97


> Kann ich davon ausgehen, dass A vollständig ist

Nein, das kannst Du nicht !

>  und a [mm]\in \overline{A}[/mm]
> existiert.

Wenn A nichtleer ist gibt es solch ein a immer !!!

> Dann gibt es eine Folge [mm](x_{j}) \in A^{\IN}[/mm] mit  
> [mm](x_{j})\to[/mm] a
>  Insbesondere ist [mm](x_{j})[/mm] Cauchy- Folge, konvergiert gegen
> einen Punkt a* [mm]\in[/mm] A
> Notwendigerweise ist dann a*=a, also [mm]a\in[/mm] A also A
> abgeschlossen.
>  Sei nun  umgekehrt A abgeschlossen, und sei [mm](x_{j})\in A^{\IN}[/mm]
>  Cauchyfolge.
> Da (V, ||*||) als endlich dimensionaler Raum vollständig
> ist,


Wer sagt, dass dimV < [mm] \infty [/mm] ist ???

> konvergiert [mm](x_{j})[/mm] gegen einen Punkt a [mm]\in[/mm] V; wegen
> Abgeschlossenheit von A gilt [mm]a\in[/mm] A. Also ist A
> vollständig.
>  
>
> Kann ich den ersten Teil dieser Aufgabe auch so lösen ?

nein.

Die Richtung " A abgeschlossen $ [mm] \Rightarrow [/mm] $  A kompakt" kannst Du auf 2 Arten beweisen:

1. mit Folgen: sei [mm] (x_k) [/mm] eine Folge in A. Zeige: [mm] (x_k) [/mm] enthält eine konvergente Teilfolge, deren Limes zu A gehört.

2. mit Überdeckungen: sei [mm] \mathcal{G}=\{G_i:i \in I\} [/mm] eine offene Überdeckung von A. Dann ist [mm] \mathcal{G} \cup \{V \setminus A\} [/mm] eine offene Überdeckung von K.

Jetzt Du.

FRED

>
> Danke im Voraus!!


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