normierter vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Mi 02.05.2007 | | Autor: | Thomas85 |
Hallo, ich habe ein paar erständnisprobleme zu einer aufgabe
undzwar zu normierten vektorräumen.
Wenn ein VR V normiert ist gibt es also eine abbildung | . | V-> |K
es gelten halt die eigenschaften (homogenität, dreicksungleichung,..)
und ich habs so verstanden dass die Norm von einem v [mm] \in [/mm] V die Länge des Vektors beschreibt (richtig??)
Nun habe ich aber 2 Vektorräume V,W. und eine Abbildung f:V -> W
und V,W sind normiert. dann soll es eine norm [mm] |.|_{V} [/mm] und eine Norm [mm] |.|_{W}
[/mm]
geben und das irritiert mich? unterscheiden sich diese normen? bilden sie nicht beide auf die länge des Vektors ab?
hoffe jemand kann mir helfen
mfg thomas
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Deine Meinung, daß die Norm die Länge eines Vektors angibt, stimmt und stimmt auch nicht. "Länge" ist hier nur ein Wort. Das muß aber nicht die übliche euklidische Länge sein.
Nehmen wir [mm]V = \mathbb{R}^2[/mm] und denken wir uns die Elemente von [mm]V[/mm] als Punkte oder Vektoren in einem kartesischen Koordinatensystem. Wir betrachten verschiedenen Normen. Sei dazu [mm]p = (x,y)[/mm] ein Element von [mm]V[/mm].
Häufig verwendet werden die Normen [mm]N_1,N_2[/mm] mit
[mm]N_1(p) = |x| + |y|[/mm]
[mm]N_2(p) = \sqrt{x^2 + y^2}[/mm]
Für [mm]p=(3,-4)[/mm] etwa wäre [mm]N_1(p) = 7[/mm], dagegen [mm]N_2(p) = 5[/mm]. Und die Norm [mm]N_2[/mm] gibt auch tatsächlich die anschauliche Länge des Vektors [mm]p[/mm] an (Satz des Pythagoras), die Norm [mm]N_1[/mm] dagegen nicht. Dennoch spricht aus der Sicht der Axiomatik nichts dagegen, auch [mm]N_1(p)[/mm] als "Länge von [mm]p[/mm]" zu bezeichnen. Es handelt sich dann halt um einen anderen Längenbegriff als den üblichen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:29 Mi 02.05.2007 | | Autor: | Thomas85 |
das macht die aufgabe zwar nicht leichter, aber zumindest versteh ich jetzt die aufgabenstellung :)
vielen dank
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