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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Sa 11.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Hab nur kurz zwei Definitionsfragen:
Kann mir vielleicht jemand kurz und möglichst anschaulich (also nicht so mathematisch mit etlichen Begriffen, die dann auch wieder erklärt werden müssen...) erklären, was nullhomotop bedeutet? Ich habe es hier im Zusammenhang mit dem Residuensatz...
Und ist es richtig, dass man "diskret" so auffassen kann, dass man die Punkte quasi einzeln hat, also nicht Punkte direkt hintereinander, oder wie könnte man das ausdrücken?
Viele Grüße
Bastiane
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Gruß Bastiane!
Na schön, ich werde mal versuchen, es möglichst unmathematisch auszudrücken. 
Der leichtere Begriff zuerst: eine Menge $M [mm] \subseteq \IC$ [/mm] heißt diskret, wenn sie keinen Häufungspunkt in [mm] $\IC$ [/mm] besitzt.
Oder doch mathematisch: wenn es zu jedem $m [mm] \in [/mm] M$ ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gibt, so dass [mm] $B_\varepsilon(m) \cap [/mm] M = [mm] \{ m \}$. [/mm] Also jeder Punkt in $M$ liegt isoliert.
Zur Nullhomotopie: Ein (geschlossener) Weg in [mm] $\IC$ [/mm] ist ja eine stetige Abbildung [mm] $\gamma: [/mm] [0,1] [mm] \to \IC$ [/mm] mit [mm] $\gamma(0) [/mm] = [mm] \gamma(1) [/mm] = [mm] x_0$. [/mm] Welches Intervall man da nimmt ist im Grunde egal, das Einheitsintervall hat sich gewissermaßen eingebürgert.
Der Weg heißt nullhomotop, wenn man ihn "stetig zusammenziehen" kann. Jeder Weg in [mm] $\IC$ [/mm] ist nullhomotop, aber wenn man nur Gebiete betrachtet, muß das nicht mehr der Fall sein - in [mm] $\IC \backslash \{ 0 \}$ [/mm] ist der Weg, der die 0 einmal umläuft nicht zusammenziehbar.
Nochmal mathematisch: ein geschlossener Weg [mm] $\gamma: [/mm] [0,1] [mm] \to [/mm] G$ in einem Gebiet $G [mm] \subseteq \IC$ [/mm] mit Anfangs- und Endpunkt [mm] $x_0$ [/mm] heißt nullhomotop in $G$, falls es eine stetige Abbildung $H: [0,1] [mm] \times [/mm] [0,1] [mm] \to [/mm] G$ gibt mit
$H(0,t) = [mm] \gamma(t)$ [/mm] für alle $t [mm] \in [/mm] [0,1]$
$H(1,t) = [mm] x_0$ [/mm] für alle $t [mm] \in [/mm] [0,1]$
$H(s,0) = H(s,1) = [mm] x_0$ [/mm] für alle $t [mm] \in [/mm] [0,1]$
Anschaulich gesprochen besteht $H$ aus "vielen Wegen": für festes $s [mm] \in [/mm] [0,1]$ ist die Abbildung $H(s, [mm] \cdot) [/mm] : [0,1] [mm] \to [/mm] G$ ein geschlossener Weg. Für $s = 0$ ist es gerade [mm] $\gamma$ [/mm] und für $s = 1$ ist es der konstante Weg bei [mm] $x_0$. [/mm] Die Stetigkeit der Abbildung garantiert uns also, dass der Weg stetig deformiert, quasi "zusammengezogen" wird.
Das Problem an dem Begriff ist, dass es ziemlich pathologisch geformte Gebiete gibt, an denen man nicht sofort ablesen kann, ob ein gegebener Weg nun nullhomotop ist oder nicht.
Übrigens bildet die Menge der geschlossenen Wege eines Gebietes an einem festen Anfangs- und Endpunkt modulo Homotopie eine Gruppe, die "Fundamentalgruppe" genannt wird. Das ist eine wichtige algebraische Invariante, die aus der Topologie kommt, aber oft auch in Funktionentheorie-Vorlesungen zum Einsatz kommt, so z.B. bei uns.
Ich hoffe, ich habe mehr Klarheiten geschaffen als neue Fragen aufgeworfen - aber für die neuen Fragen ist ja das Forum dann auch da.
Gruß,
Lars
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