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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 Fr 01.04.2005 | | Autor: | celeborn |
Moin!
Ich habe mehrere kleine Fragen, die zur Vorbereitung auf eine müdliche Prüfung dienen:
1.) Wie lautet die zusammengesetzte Simpsonregel?
2.) Für welche Integranden f konvergiert sie gegen das Integral?
3.) Was bedeutet hier "Konvergenz"?
4.) Wie lässt sie sich beweisen?
5.) Wie gross ist, hinreichend oftmalige Diff.-barkeit des Intergranden vorausgesetzt, der Intergrationsfehler der zusammengesetzten Simpsonregel?
Danke für die Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo celeborn,
Deine Fragen sind nat. recht allgemein. So sind Prüfungsfragenkataloge wohl. Trotzdem ein Antwortversuch.
> 1.) Wie lautet die zusammengesetzte Simpsonregel?
Zerlege das Intervall äquidistant in Teilintervalle und wende auf jedem Teilintervall die "normale" Simpsonregel an.
> 2.) Für welche Integranden f konvergiert sie gegen das
> Integral?
siehe Beweis der Konvergenz
> 3.) Was bedeutet hier "Konvergenz"?
in Abhängigkeit von der Länge der Teilintervalle man unterscheidet linear quadratisch kubisch... Ich glaub für die Simpsonregel war's kubisch.
> 4.) Wie lässt sie sich beweisen?
Man interpoliert die Funktion auf dem Teilintervall durch ein quadrat. Polynom und benutzt den Interpolationsfehler um den Integrationsfehler abzuschätzen. (für quadrat. Polynome wäre die Simpsonregel exakt.)
> 5.) Wie gross ist, hinreichend oftmalige Diff.-barkeit des
> Intergranden vorausgesetzt, der Intergrationsfehler der
> zusammengesetzten Simpsonregel?
Das ergibt sich aus dem Beweis
Na gut eine recht allgemeine Antwort.
Hast Du keine Mitschriften/Literatur zum Beweis der Konvergenz?
gruß
mathemaduenn
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:09 So 03.04.2005 | | Autor: | celeborn |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Betr.: mündliche Prüfung Numerik
Frage: Was versteht man unter der "Ordnung" einer Integrationsformel?
und
Welche Ordnung hat die Simpsonregel?
Danke für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 So 03.04.2005 | | Autor: | felixs |
morgen
> Frage: Was versteht man unter der "Ordnung" einer
> Integrationsformel?
ich wuerde spontan mal behaupten du meinst mit "integrationsformel" eine quadratur. dann ist die ordnung wahrscheinlich die exaktheit der quadratur also $I$ ist exakt auf [mm] $\mathbb{P}^n \Leftrightarrow [/mm] ord(I)=n$.
ich koennte natuerlich komplett daneben liegen...
> Welche Ordnung hat die Simpsonregel?
weiss jetzt nicht genau *welche* das ist. aber falls meine annahme da oben stimmt duerfte es nicht sonderlich schwer sein das auszurechnen.
gruss
--felix
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Hallo felix,
Simpsonregel ist exakt für quadratische Polynome in diesem Sinne wärs also quadratisch.
gruß
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo zusammen!
Auch wenn die Diskussion schon recht alte ist: Wir sollen zeigen, dass die Simpson-Regel für alle Polynome vom Grad 3 exakt ist. Demnach wäre die Ordnung doch wohl mindestens 3!? Und ich habe im Internet sogar gefunden, dass die Simpsonregel sogar für Polynome vom Grad 4 exakt ist (wenn ich das richtig verstanden habe...).
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Bastiane,
Danke fürs aufrollen. 
Die Exaktheit gilt richtigerweise für Polynome vom Grad 3 und das Verfahren hat die Konvergenzordnung 4. Das es nicht exakt ist für Polynome vom Grad 4 kann man ja an Hand des integrals von [mm] x^4 [/mm] im Intervall [0,1] nachprüfen. Ich hätte da mit Simpsonregel [mm] \bruch{5}{24} [/mm] raus. was ja knapp daneben ist.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo celeborn,
Ich nehme mal an da mit Ordnung Konvergenzordnung gemeint ist also
[mm]||I(f)-IF(f)||\le C*h^n[/mm]
h die Schrittweite I das wahre Integral IF die Näherung
Wie gesagt Vermutung:kubisch
Alles klar?
gruß
mathemaduenn
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