o(x) und wie damit umgehen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 So 18.01.2009 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | a: Es sei f: D [mm] \to \IC [/mm] eine beschränkte funktion auf einer Umgebung D von 0 in [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC.
[/mm]
Zeige: f(x) * [mm] o(x^n) [/mm] = [mm] o(x^n)
[/mm]
b: Es sei nun f: D [mm] \to \IC [/mm] eine stetige funktion auf einer Umgebung D von 0 in [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC [/mm] mit f(0) [mm] \not= [/mm] 0.
Zeige: [mm] \bruch{1}{f(x) + o(x^n)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{f(x)} [/mm] + [mm] o(x^n) [/mm] |
Hallo zusammen,
hier erstmal die Grundlegenste aller meiner Fragen: Weiß jemand wo ich was über dieses ominöse o(x) finden kann???
bis jetzt weiß ich:
- es hat was mit der Ordnung einer funktion zu tun.
- o(a(z)) + o(z) = o(z)
- [mm] o(x^m) [/mm] * [mm] o(x^n) [/mm] = [mm] o(x^{m+n}) [/mm] , x [mm] \to x_{0}
[/mm]
- [mm] o(z-z_{0}) [/mm] entspricht der Menge aller Funktionen r(z) mit [mm] \limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{r(z)}{z - z_{0}} [/mm] = 0
zu a:
Das kann in meinem Verständiss ja eig. nur funktionieren wenn f(x) = 1 ist. Aber das ist wohl nicht sinn der Aufgabe.
zu b:
hier bin ich schon soweit das es ja reichen müsste wenn ich zeige:
[mm] \bruch{1}{o(x^n)} [/mm] = [mm] o(x^n)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1 = [mm] o(x^n) [/mm] * [mm] o(x^n) \gdw [/mm] 1= [mm] o(x^{2n}) :\gdw \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{1}{x^{2n}} [/mm] = 0
was dann ja wieder nur für n [mm] \to \infty [/mm] gelten würde...
Da ich mir fast sicher bin, dass meine bisherigen überlegungen ziemlich nutzlos sind würde ich mich sehr freuen wenn jemand ne seite kennen würde auf der das thema erklärt wird oder sich die zeit nehmen könnte es mit zu erklären.
danke im vorraus, die Maxi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 So 18.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Maxi!
> a: Es sei f: D [mm]\to \IC[/mm] eine beschränkte funktion auf einer
> Umgebung D von 0 in [mm]\IR[/mm] oder [mm]\IC.[/mm]
>
> Zeige: f(x) * [mm]o(x^n)[/mm] = [mm]o(x^n)[/mm]
>
> b: Es sei nun f: D [mm]\to \IC[/mm] eine stetige funktion auf einer
> Umgebung D von 0 in [mm]\IR[/mm] oder [mm]\IC[/mm] mit f(0) [mm]\not=[/mm] 0.
>
> Zeige: [mm]\bruch{1}{f(x) + o(x^n)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{f(x)}[/mm] + [mm]o(x^n)[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> hier erstmal die Grundlegenste aller meiner Fragen: Weiß
> jemand wo ich was über dieses ominöse o(x) finden kann???
Stichwort: Landau-Symbole
Das [mm] $o(x^n)$ [/mm] bedeutet anschaulich die Menge der Funktionen, die für [mm] $x\to [/mm] 0$ schneller gegen 0 gehen als [mm] $x^n$.
[/mm]
> bis jetzt weiß ich:
>
> - es hat was mit der Ordnung einer funktion zu tun.
>
> - o(a(z)) + o(z) = o(z)
>
> - [mm]o(x^m)[/mm] * [mm]o(x^n)[/mm] = [mm]o(x^{m+n})[/mm] , x [mm]\to x_{0}[/mm]
>
> - [mm]o(z-z_{0})[/mm] entspricht der Menge aller Funktionen r(z) mit
> [mm]\limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{r(z)}{z - z_{0}}[/mm] = 0
>
>
> zu a:
>
> Das kann in meinem Verständiss ja eig. nur funktionieren
> wenn f(x) = 1 ist. Aber das ist wohl nicht sinn der
> Aufgabe.
Nein, du hast die Bedeutung des o-Symbols noch nicht verstanden. Die Gleichung
[mm]f(x) * o(x^n) = o(x^n)[/mm]
ist keine Identität im üblichen Sinne. Wenn du die Definition hernimmst, dann bedeutet doch [mm] $o(x^n)$ [/mm] die Klasse der Funktionen $r(x)$ mit [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{r(x)}{x^n} = 0[/mm]. Es ist also eine Aussage über Klassen von Funktionen.
Dann bedeutet diese Gleichung: wenn ich irgendeinen beliebigen Repräsentanten $r(x)$ dieser Klasse nehme, dann ist auch $f(x)*r(x)$ ein Repräsentant dieser Klasse:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{r(x)}{x^n} = 0 \implies \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x)*r(x)}{x^n} = 0 [/mm]
Du musst also nachweisen, dass für eine beschränkte Funktion der rechte Limes 0 ist.
> zu b:
>
> hier bin ich schon soweit das es ja reichen müsste wenn ich
> zeige:
>
> [mm]\bruch{1}{o(x^n)}[/mm] = [mm]o(x^n)[/mm]
Nein, das stimmt nicht.
Wende konsequent die Überlegung von eben an!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Di 20.01.2009 | | Autor: | maxi85 |
ok wenn ich mir also a betrachte.
zu zeigen: f(x) * [mm] o(x^n) [/mm] = [mm] o(x^n)
[/mm]
für mein n in der oberen gleichung gilt ja, n [mm] \in \IN.
[/mm]
Sei nun m [mm] \in \IN [/mm] und m [mm] \ge [/mm] n, dann kann ich f(x) * [mm] o(x^n) [/mm] darstellen als [mm] o(x^m) [/mm] weil durch multiplikation eines polinoms vom grad [mm] \ge [/mm] 0 die potenz ja nur größer werden kann.
nun weiß ich aber das [mm] o(z^n) [/mm] = [mm] o(z^m) [/mm] wenn m [mm] \ge [/mm] n gilt. woraus die behauptung folgt.
Stimmen meine überlegungen so? und wenn ja ist die art und weise wie es aufgeschrieben ist ok, oder eher nich?
zu b:
bei b habe ich allerdings immernoch keinen plan wie das gehen soll. auch wenn ich mir o(x) nicht als zahl vorstelle muss doch trotzdem [mm] \bruch{1}{o(x)}=o(x) [/mm] gelten damit das irgendwie gehen kann.
für ratschläge immer dankbar, die maxi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Di 20.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu a)
f(x) * $ [mm] o(x^n) [/mm] $ = $ [mm] o(x^n) [/mm] $ bedeutet einfach:
ist g:D--> [mm] \IC [/mm] eine Funktion mit [mm] \bruch{g(x)}{x^n} [/mm] ---> 0 für x --> 0,
so gilt auch:
[mm] \bruch{f(x)g(x)}{x^n} [/mm] ---> 0 für x --> 0.
Das ist aber eine Trivialität, denn f ist in einer Umgebung von 0 beschränkt.
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:52 Mi 21.01.2009 | | Autor: | maxi85 |
Hallo,
also mir ist a immernoch nicht ganz klar, aber ich arbeite dran...
wenn ich mir jetzt b angucke. dann soll ich anschaulich zeigen, dass es egal ist ob ich erst f(x) + o(x) rechne oder ob ich erst 1/f(x) rechne und dann o(x) addiere, weil mein Ausdruck so vernachlässigbar klein gegenüber f(x) ist das es egal ist.
Stimmt das so? in formeln würde das dann bedeuten [mm] \bruch{1}{f(x) + o(x^n)} \approx \bruch{1}{f(x)} \approx \bruch{1}{f(x)} [/mm] + [mm] o(x^n)
[/mm]
wobei mir erstmal klar ist, dass ich das so nicht schreiben darf. es geht hier nur um die anschauung.
bin ich diesmal mit meinen selbsterklärungsversuchen auf der richtigen spur?
danke im vorraus, die maxi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 Sa 24.01.2009 | | Autor: | maxi85 |
Hallo zusammen,
die Frage hat sich erledigt. Haben sie in ner Übung geklärt.
trotzdem danke an alle die sich damit beschäftigt haben
mfg
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