obere \DeltaMatrix Eigenschaft < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Mo 11.11.2013 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe | Sei die (nxn) Matrix A eine obere Dreiecksmatrix in der alle Diagonalelemente aii von 0 verschieden sind. Dann gelten folgende Eigenschaften, die zu beweisen sind:
(i) A ist invertierbar
(ii) A^-1 ist ebenfalls eine obere Dreiecksmatrix mit den Diagonalelementen a1,1^-1, a2,2^-1,...,an,n^-1. |
Hallo!
Mein Ansatz zu (i) wäre, dass eine obere Dreiecksmatrix ja vollen Rang besitzt --> A ist invertierbar!
Hier weiß ich jedoch nicht, wie ich beweisen kann, dass die obere Dreiecksmatrix vollen Rang besitzt?
Bei (ii) hätte ich diesen Ansatz: da ja die Einheitsmatrix unter anderem auch eine obere Dreiecksmatrix ist, und eine obere Dreiecksmatrix * eine obere Dreiecksmatrix wieder eine obere Dreiecksmatrix ergibt! Daraus folgere ich, dass A-1 eine obere Dreiecksmatrix ist!
Wie ich beweißen soll, dass die einzelnen Skalare von A^-1 die jeweils inversen Skalare zu denen von A sind, weiß ich leider nicht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Mo 11.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei die (nxn) Matrix A eine obere Dreiecksmatrix in der
> alle Diagonalelemente aii von 0 verschieden sind. Dann
> gelten folgende Eigenschaften, die zu beweisen sind:
> (i) A ist invertierbar
> (ii) A^-1 ist ebenfalls eine obere Dreiecksmatrix mit den
> Diagonalelementen a1,1^-1, a2,2^-1,...,an,n^-1.
> Hallo!
>
> Mein Ansatz zu (i) wäre, dass eine obere Dreiecksmatrix ja
> vollen Rang besitzt
Im allgemeinen ist das nicht so ! Aber bei der obigen Matrix A ist das so, denn es sind doch alle [mm] a_{ii} \ne [/mm] 0.
> --> A ist invertierbar!
> Hier weiß ich jedoch nicht, wie ich beweisen kann, dass
> die obere Dreiecksmatrix vollen Rang besitzt?
Wenn A eine obere Dreiecksmatrix ist mit [mm] a_{ii} \ne [/mm] 0 (i=1,...,n) , so sind doch die Zeilen von A linear unabhängig.
Andere Begründung für die Invertierbarkeit von A:
Mach Dir klar, dass in einer oberen Dreiecksmatrix die Diagonalelemente gerade die Eigenwerte von A sind. A hat also gerade die [mm] a_{ii} [/mm] als Eigenwerte. 0 ist also kein Eigenwert von A.
>
> Bei (ii) hätte ich diesen Ansatz: da ja die Einheitsmatrix
> unter anderem auch eine obere Dreiecksmatrix ist, und eine
> obere Dreiecksmatrix * eine obere Dreiecksmatrix wieder
> eine obere Dreiecksmatrix ergibt! Daraus folgere ich, dass
> A-1 eine obere Dreiecksmatrix ist!
Das ist O.K.
> Wie ich beweißen soll
beweisen ....
> , dass die einzelnen Skalare von
> A^-1 die jeweils inversen Skalare zu denen von A sind,
> weiß ich leider nicht.
Du sollst zeigen, dass die Diagonalelemente von [mm] A^{-1} [/mm] gerade die Zahlen [mm] a_{ii}^{-1} [/mm] (i=1,...,n) sind
Verwende wieder: die Diagonalelemente von [mm] A^{-1} [/mm] sind gerade die Eigenwerte von [mm] A^{-1} [/mm]
und
.... ist [mm] \lambda \ne [/mm] 0 ein Eigenwert von A , so ist [mm] \bruch{1}{\lambda} [/mm] ein Eigenwert von [mm] A^{-1} [/mm]
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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