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| Aufgabe | Sei $ [mm] X=\pmat{A&B\\0&D} [/mm] $ eine reelle, reguläre Matrix(nxn) und A,D quadratische Untermatritzen.
a) Bestimme Sie eine Formel für die Inverse von X.
b) Nutze (a) und voll. Induktion, um zu zeigen, dass die Inverse einer oberen rechten Dreiecksmatrix wieder eine obere rechte Dreiecksmatrix ist. |
Einen wunderschönen Abend erstmal an alle...
Ok. Erstmal hab ich mir ne Blockmatrix [mm] X=\pmat{A& B\\0& C} [/mm] genommen.
[mm] X^{-1}=\pmat{A^{-1}&- A^{-1}BC^{-1}\\0 &C^{-1}}.
[/mm]
Gut ist X nun obere Dreiecksmatrix so ist [mm] A,C\in [/mm] R und B eine vollbesetze quadratische Matrix.
Die Inverse ist dann wie oben eine obere Dreiecksmatrix.
Hmm. Das ist mir soweit klar. Nur wie geh ich das mittels Induktion an?
Induktion über die Anzahl der Spalten=Zeilen?
IA: [mm] R_1=(1) \Rightarrow R_1^{-1}=(1)
[/mm]
IV: R ist obere Dreiecksmatrix [mm] \Rightarrow (R_n)^{-1} [/mm] ist obere Dreiecksmatrix
IS: [mm] R_{n+1}=....nutze [/mm] ich hier aus das [mm] A,C\in [/mm] R und somit nach IV deren Inverse existieren und somit die obrige Formel angewandt werden kann?
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Analog kann ich doch dann auch ne Aussage zu den unteren Dreiecksmatritzen machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 Sa 01.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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