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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Sa 01.01.2005 | | Autor: | IKE |
Hallo,
ich habe irgendwie ein Problem mit der folgenden Aufgabe:
Seien K [mm] \subset \IR [/mm] kompakt, [mm] x_{0} \in \IR [/mm] und G [mm] \subset \IR^{2} [/mm] eine offene Menge mit [mm] {x_{0}} \times [/mm] K [mm] \subset [/mm] G.
Dann gibt es ein [mm] \varepsilon [/mm] >0 derart, dass [mm] B(x_{0}, \varepsilon) \times [/mm] K [mm] \subset [/mm] G.
Ich weiß irgendwie nicht so recht wie ich die ganze Sache angehen soll, deshalb wäre ich sehr dankbar für ein paar Tipps.
mfg IKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 Sa 01.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi IKE
das problem ist im prinzip ein globales [m] \varepsilon > 0[/m] zu finden, dass an jeder stelle [m] x \in K [/m] der [m] \varepsilon[/m]-ball um [m] (x_0, x) [/m] ganz in [m] G [/m] liegt. im allgemeinen funktioniert das nicht, die entscheidende vorrausstzung ist hier, dass [m] K [/m] kompakt ist.
dazu sucht man sich eine stetige funktion auf [m] K [/m], hier bietet sich
[m] \begin{array}{cccl} \gamma:& K & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & d((x_0, x), \partial G) \end{array} [/m]
an, wobei ich jetzt einfach [m] G \not= \mathbb{R}^2 [/m] vorraussetze, sonst wäre die aufgabe trivial. hierbei bezeiche [m] \partial G [/m] den rand von $G$ und
[m] d((x_0, x), \partial G) := \inf \{ d((x_0, x), g) : g \in \partial G \} [/m]
den abstand des punktes [m] (x_0, x) [/m] vom nächstgelsegnen punkt auserhalb von [m] G [/m] (da $G$ offen ist, liegt der rand von $G$ nicht mehr in $G$).
jetzt ist offensichtlich [m] \gamma(x) > 0 [/m] für alle [m] x \in K [/m]. es genügt nun noch zu zeigen, dass [m] \gamma [/m] stetig auf [m] K [/m] ist, d.h.
[m] \forall \, x \in K \; \forall \, \varepsilon > 0 \; \exists \, \delta > 0 \; \forall \, \tilde{x} \in K: |x - \tilde{x} | < \delta \; \Longrightarrow \; |\gamma(x) - \gamma(\tilde{x}) | < \varepsilon [/m]
(entspricht das eurer stetigkeitsdefinition?). sei also ein [m] x \in K [/m] und ein [m] \varepsilon > 0 [/m] beliebig vorgegeben. setze [m] \delta := \varepsilon > 0 [/m] dann gilt nach definition bzw. dreiecksungleichung für die metrik in [m] \mathbb{R}^2 [/m] und da [m] d(x_0, \tilde{x}), (x_0, x) = d(\tilde{x}, x) [/m] (da die erste komponente nichts beiträgt, da diese bei beiden punkten gleich ist)
[m] \begin{array}{rcl} \gamma(\tilde{x}) & = & d((x_0, \tilde{x}), \partial G) \\
& = & \inf \{ d((x_0, \tilde{x}), g) : g \in \partial G \} \\
& \leq & \inf \{ d(x_0, \tilde{x}), (x_0,x)) + d((x_0, x), g) : g \in \partial G \} \\
& = & d(x_0, \tilde{x}), (x_0,x)) + \inf \{ d((x_0, x), g) : g \in \partial G \} \\
& = & d(\tilde{x}, x) + \inf \{ d((x_0, x), g) : g \in \partial G \} \\
& < & \varepsilon + \gamma(x)
\end{array} [/m],
also [m] \gamma(\tilde{x}) - \gamma(x) < \varepsilon [/m]. mit analoger rechnung sieht man, dass [m] \gamma(x) - \gamma(\tilde{x}) < \varepsilon [/m], insgesmt also
[m] | \gamma(x) - \gamma(\tilde{x}) | < \varepsilon [/m]
und somit ist [m] \gamma [/m] stetig, da für jedes $x$ und jedes [mm] $\varepsilon$ [/mm] eine [mm] $\delta$ [/mm] gefunden wurde!
nach dem satz von weierstrass (ich hoffe der heißt auch so) besitzt jede stetige funktion auf einer kompakten menge ein minimum und da oben festgestellt wurde, dass [m] \gamma(x) > 0 [/m] muss auch das minimum größer als null sein, da es ja für ein [m] x \in K [/m] angenommen wird. setze als
[m] \varepsilon := \min_{x \in K} \gamma(x) > 0 [/m]
und dann liegt [m] B(x_0, \varepsilon) \times K [/m] stets ganz in $G$.
ich hoffe mal, das stimmt so halbwegs und ist auch verständlich!
für hinweise auf fehler wäre ich dankbar. wenn etwas unklar ist frage bitte nach.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 So 02.01.2005 | | Autor: | IKE |
Hallo andreas,
ich muss dir leider sagen das dir ein Fehler unterlaufen ist. In meiner Aufgabenstellung heißt es nämlich das G [mm] \subset \IR^{2} [/mm] ist und nicht wie bei deiner Formulierung G [mm] \not= \IR^{2}. [/mm] Wie würde es denn für den Fall aussehen, da ja nun doch G [mm] \subset \IR^{2} [/mm] ist.
mfg IKE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 So 02.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi IKE
ich habe nur die fallunterscheidung [m] G = \mathbb{R}^2 [/m] (dann ist die aufgabe trivial, warum?) und [m] G \not= \mathbb{R}^2 [/m] (dafür siehe meinen letzte antwort - braucht man, damit [m] \gamma [/m] überhaupt definiert ist) gemacht.
verstehst du in etwas was ich in meinder letzten antwort geschrieben habe und kannst du mit den verwendeten begriffen etwas anfangen?
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 So 02.01.2005 | | Autor: | IKE |
hallo andreas,
also mir ist nicht ganz klar, wieso das für den Fall G [mm] \subset \IR^{2} [/mm] trivial ist.
Würde mich freuen wenn Du mir das etwas näher erläutern könntest.
mfg IKE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 So 02.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi IKE
ich habe nicht behauptet, dass es für den fall [m] G \subset \mathbb{R}^n [/m] trivial sei, denn das ist es durchaus nicht. aber für den fall, dass [m] G = \mathbb{R}^2 [/m], die offene menge [m] G [/m] also der gesamte [m] \mathbb{R}^n [/m] ist, so ist dies trivial, denn dann kannst du das [m] \varepsilon > 0 [/m] beliebig wählen und der "[m] \varepsilon [/m]-schlauch" liegt immer noch in [m] G [/m], da [m] G [/m] einfach "alles" ist, die [m] \varepsilon [/m] umgebung kann garnicht hinausgehen!
andreas
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