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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Menge $M:= [mm] \left\{ \vektor{x \\ y} \in \IR^2 | xy \neq 0\right\}$ [/mm] offen in [mm] $(\IR^2, d_2)$ [/mm] ist. |
Hallo,
kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen?
Ich weiß nicht, wie ich anfangen soll. Ich kenne zwar die Definition für eine offene Menge:
"Eine Menge M ist offen, wenn für alle [mm] a\in [/mm] M gilt M ist Umgebung von a."
Kann damit allerdings in bezug auf diese Aufgabe nicht so viel anfangen.
Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben?!
Viele Grüße,
das schlumpfinchen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 So 16.08.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Schlumpfinchen,
> Zeigen Sie, dass die Menge [mm]M:= \left\{ \vektor{x \\ y} \in \IR^2 | xy \neq 0\right\}[/mm]
> offen in [mm](\IR^2, d_2)[/mm] ist.
> Hallo,
>
> kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe
> weiterhelfen?
> Ich weiß nicht, wie ich anfangen soll. Ich kenne zwar die
> Definition für eine offene Menge:
>
> "Eine Menge M ist offen, wenn für alle [mm]a\in[/mm] M gilt M ist
> Umgebung von a."
könnt ihr auch benutzen:
Eine Menge $M [mm] \subset X\,$ [/mm] ist offen, wenn für alle $a [mm] \in [/mm] M$ ein [mm] $\epsilon=\epsilon(a) [/mm] > 0$ existiert, so dass [mm] $U_\epsilon(a):=\{x \in X: d(x,a) < \epsilon\} \subset [/mm] M$?
Deine obige Menge [mm] $M\,$ [/mm] ist gerade der euklidische [mm] $\IR^2,\,$ [/mm] ohne die [mm] $x\,$- [/mm] und auch ohne die [mm] $y\,$-Achse [/mm] ($xy [mm] \not=0$ $\gdw$ [/mm] $x [mm] \not=0$ [/mm] und $y [mm] \not=0$).
[/mm]
Ein Punkt [mm] $a=(x_a,y_a) \in [/mm] M [mm] \subset \IR^2$ [/mm] erfüllt also [mm] $x_a \not=0$ [/mm] und [mm] $y_a \not=0\,.$ [/mm] Setze [mm] $\epsilon=\epsilon(a):=\min\{|x_a|,\;|y_a|\}$ [/mm] und zeige, dass [mm] $U_\epsilon(a) \subset [/mm] M$ gilt.
Selbst, wenn Dir diese Charakterisierung (in metrischen Räumen) nicht geläufig ist:
Du hättest zu zeigen, dass für jedes $a [mm] \in [/mm] M$ dann [mm] $M\,$ [/mm] eine Umgebung von [mm] $a\,$ [/mm] ist. Das heißt, es wäre zu zeigen:
Für jedes $a [mm] \in [/mm] M$ existiert eine offene Teilmenge $O=O(a) [mm] \subset M,\,$ [/mm] so dass $a [mm] \in [/mm] O$. Wie Du für $a [mm] \in [/mm] M$ eine solche offene Menge [mm] $O\,$ [/mm] findest, sollte Dir dann auch klar sein [mm] ($O=O(a)=U_\epsilon(a)$ [/mm] von oben tut's; es sollte ggf. noch kurz begründet werden, warum dann [mm] $U_\epsilon(a)$ [/mm] selbst auch offen ist).
Gruß,
Marcel
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