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| Aufgabe | | die menge [mm] \IQ^{n} [/mm] liegt dicht in [mm] \IR^{n} [/mm] |
hi leute,kann mir jemand diesen satz erklären,was ist denn mit
der "dichten lage" gemeint?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Do 12.04.2007 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Der Dichtheitsbegriff kommt eigentlich aus der Topologie und weniger aus der Mengenlehre. Eine Menge A heißt dicht in B wenn für jedes a aus A gilt:
Für jedes Epsilon >0 liegt aus der Epsilonumgebung um a mindestens ein Punkt in $B [mm] \backslash [/mm] A$ (also im Komplement).
Wählen wir als Beispiel das Einheitsintervall, so liegt um jeden rationalen Punk in jeder noch so kleinen Epsilonumgebung ein irrationaler Punkt.
Demzufolge liegt auch Q dicht in R, wenn man das Einheitsintervall fortsetzt.
Ich denke die Aussage, die du jetzt zeigen willst ist keine große Sache mehr. Aus Epsilonumgebung wird Epsilonkugel und dann überlegst du dir, warum die Ausage stimmt.
Gruß Micha 
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:07 Do 12.04.2007 | | Autor: | pumpernickel |
danke micha,
also für mich ist das schon was,weil ich da nämlich keinen plan habe,wie ich das zeigen könnte.kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Do 12.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.wie habt ihr denn "dicht" definiert, ich glaub kaum wie Micha.
2. wie habt ihr die reellen Zahlen definiert?
Fuer mich ist |IQ dicht in |IR, wenn in jeder Umgebung von r mindestens 1 q ist. das kann man aus der Def. von r finden.
Wenn dus fuer Q und R hast ist es fuer [mm] Q^n [/mm] Und [mm] R^n [/mm] einfach.
fang erstmal an die Def. aufzuschreiben, das sollte man bei Beweisen immer.
Gruss leduart
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der körper der reellen zahlen mit den üblichen axiomen ,also die beiden assoziativgesetze ,die kommutativgesetze,das distrib.-gesetz,existenz der inversen und der neutralen elemente usw. aber eigentlich betrachten wir nur die menge der reellen bzw, der rationalen zahlen.die axiome habe ich mal im letzten semester gemacht .offene bzw. abgeschlossene mengen sind das oberthema momentan in der analysis2 vorlesung und dazu kam obige frage.vielleicht hilft es auch ,wenn ich voraussetzen kann ,das [mm] \IQ^{n} [/mm] abzählbar ist ,nicht jedoch [mm] \IR^{n}.
[/mm]
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wie kann man das alleine aus der definition von [mm] \IR [/mm] finden ?
also ich definiere erstmal was für [mm] \IQ [/mm] : seien p,q [mm] \in \IZ [/mm] mit q [mm] \not= [/mm] 0 .
dann ist a [mm] \in \IQ [/mm] als eine relation eines zahlentupels (p,q) definiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Fr 13.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
in deiner Def. der reellen Zahlen fehlt das einzig wesentliche, was sie von den rat. Zahlen unterscheidet.
z.Bsp. jede Cauchyfolge konvergiert, oder sie sind ne Aequivalenzklasse von Cauchyfolgen der rat. Z oder [mm] \IR [/mm] ist der Abschluss von [mm] \IQ [/mm] oder so was!
wenn du weisst, dass man jede reelle Zahl als GW einer konv, Folge von rat. Z darstellen kann kannst du leicht fuer jedes [mm] r_o [/mm] aus R zeigen, dass in jeder Umgebung mindestens ein q liegt.
Wenn ihr in der Vorlesg. keine Definition von dicht hattet, kann man die Frage auch nicht stellen! ebenso nicht, wenn man nichts ueber die Vollstaendigkeit von [mm] \IR [/mm] weiss.
wenn man das hat, kann man es fuer [mm] Q^n [/mm] leicht uebertragen, weil ja da der Abstand, und damit [mm] \epsilonumgebung [/mm] komponentenweise definiert ist.
Gruss leduart
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hi leduart,
also ich habs immer noch nicht gecheckt,wie ich jetzt ein q finden soll ,das
in einer beliebigen umgebung [mm] \varepsilon [/mm] liegen soll.aber vielen dank ,dass ihr versucht habt mir zu helfen.für mich ist das überhaupt nicht leicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:50 Fr 13.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
da jede reelle Zahl GW einer konv. Folge von rationalen Zahlen ist, folgt daraus es ex.eine Folge [mm] q_n\in\IQ [/mm] und ein N so dass zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] fuer alle n>N gilt [mm] |r-q_n|<\varepsilon [/mm] .
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 Do 12.04.2007 | | Autor: | leduart |
hallo micha
kannst du das nochmal ueberlesen? nach deiner Def. waeren die natuerlichen Zahlen dicht in [mm] \IR, [/mm] oder mach ich was falsch?
Gruss leduart
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wir haben dicht gar nicht definiert.vielleicht hilft meine mitteilung drüber
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 Do 12.04.2007 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Ja ich muss mich korrigieren. Wichtig ist hier dass A in B dicht liegt, wenn B bereits die abgeschlossene Hülle ist. Das ist bei [mm] $\IN \subset \IR [/mm] $ natürlich nicht gegeben. Allerdings ist [mm] $\IR [/mm] $ der Abschluss von [mm] $\IQ$.
[/mm]
Gruß Micha
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