offene und abg. Menge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Fr 12.05.2006 | | Autor: | DeusRa |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob die folgende Menge offen oder abgeschlossen ist.
Ist diese Menge beschränkt ?
[mm] $\IZ [/mm] x [mm] \IZ\subset\IR²$ [/mm] |
Tach !
Die obere Menge ist eine von vielen die ich lösen soll.
Bei dieser bin ich mir jedoch nicht so sicher, da ich noch ein paar allgemeine Fragen zur Topologie habe.
1. Frage: Mengen können ja entweder offen oder abgeschlossen oder sogar beides sein. So wie die "leere Menge", die ist ja auch beides.
Das verstehe ich auch.
Jetzt ist meine Frage, ob es auch Mengen gibt die weder abgeschlossen noch offen sind. Also quasi gar nix. Falls ja, könnte ich ein Beispiel haben ??
Ist also eine Menge IMMER entweder abgeschlossen oder offen ??
2. Frage: Es gilt ja: Wenn (X,d) metrisch, wobei [mm] X\subset\IR:
[/mm]
[mm] $A\subset [/mm] X$ $abgeschlossen$ [mm] \gdw [/mm] $(X$ \ $A)$ [mm] \subset [/mm] $X$ $offen$.
So hatten wir es definiert.
Gilt jetzt auch das:
[mm] A\subset [/mm] $X$ $offen$ [mm] \gdw [/mm] $(X$ \ $A)$ [mm] \subset [/mm] $X$ $abgeschlossen$ ???
Dieses alles muss ich nämlich wissen, da entweder mein Beweis stimmt oder nicht.
Also nun zur kleinen Aufgabe:
Beh: [mm] $\IZ [/mm] x [mm] \IZ\subset\IR²$ [/mm] ist abgeschlossen in [mm] \IR².
[/mm]
Bew:
zz:
[mm] $\IZ [/mm] x [mm] \IZ\subset\IR²$ [/mm] ist abgeschlossen in [mm] \IR² \gdw \IR² [/mm] \ [mm] $\IZ [/mm] x [mm] \IZ$ [/mm] offen.
Wiederspruchbeweis: Sei [mm] \IR² [/mm] \ [mm] $\IZ [/mm] x [mm] \IZ$ [/mm] abgeschlossen in [mm] \IR².
[/mm]
[mm] \rightarrow [/mm] Sei [mm] x_n:=(\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n}) [/mm] eine Folge in [mm] \IR² [/mm] \ [mm] $\IZ [/mm] x [mm] \IZ$, [/mm] wobei [mm] n\in \IN.
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n=x.
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n})=(0,0).
[/mm]
Da aber (0,0) [mm] \not\in \IR² [/mm] \ [mm] $\IZ [/mm] x [mm] \IZ$, [/mm] sondern eben in
[mm] $\IZ [/mm] x [mm] \IZ$ [/mm] folgt:
[mm] \IR² [/mm] \ [mm] $\IZ [/mm] x [mm] \IZ$ [/mm] ist nicht abgeschlossen in [mm] \IR².
[/mm]
(Achtung hier gehen jetzt meine Fragen ein)
Da eine Menge entweder offen oder abgeschlossen ist folgt:
[mm] \IR² [/mm] \ [mm] $\IZ [/mm] x [mm] \IZ$ [/mm] offen in [mm] \IR² \rightarrow $\IZ [/mm] x [mm] \IZ$ [/mm] abgeschlossen in [mm] \IR².
[/mm]
Das wars.
Danke schon mal.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Fr 12.05.2006 | | Autor: | Schlurcher |
Hallo,
in [mm] $\IR$ [/mm] sind nur [mm] $\IR$ [/mm] selbst und die leere Menge sowohl offen als auch abgeschlossen.
Und, ja es gibt weder offene noch abgeschlossene Mengen. [mm] $\IR$ [/mm] ohne [mm] $\IQ$ [/mm] ist weder offen noch abgeschlossen.
Schlurcher
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 Fr 12.05.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
> 1. Frage: Mengen können ja entweder offen oder
> abgeschlossen oder sogar beides sein. So wie die "leere
> Menge", die ist ja auch beides.
> Das verstehe ich auch.
> Jetzt ist meine Frage, ob es auch Mengen gibt die weder
> abgeschlossen noch offen sind. Also quasi gar nix. Falls
> ja, könnte ich ein Beispiel haben ??
> Ist also eine Menge IMMER entweder abgeschlossen oder
> offen ??
Eine Menge kann:
a) offen ( (a, b) in [mm] \IR [/mm] ),
b) abgeschlossen ( [a, b] in [mm] \IR [/mm] ),
c) offen und abgeschlossen [mm] (\IR [/mm] in [mm] \IR), [/mm] oder
d) weder offen, noch abgeschlossen ( (a, b] in [mm] \IR)
[/mm]
sein.
>
> 2. Frage: Es gilt ja: Wenn (X,d) metrisch, wobei
> [mm]X\subset\IR:[/mm]
> [mm]A\subset X[/mm] [mm]abgeschlossen[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm](X[/mm] \ [mm]A)[/mm] [mm]\subset[/mm] [mm]X[/mm] [mm]offen[/mm].
> So hatten wir es definiert.
Das ist korrekt.
> Gilt jetzt auch das:
> [mm]A\subset[/mm] [mm]X[/mm] [mm]offen[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm](X[/mm] \ [mm]A)[/mm] [mm]\subset[/mm] [mm]X[/mm] [mm]abgeschlossen[/mm]
> ???
Wegen der Äquvalenzrelation ist diese Frage überflüßig. Ja, das stimmt immernoch.
> Dieses alles muss ich nämlich wissen, da entweder mein
> Beweis stimmt oder nicht.
> Also nun zur kleinen Aufgabe:
> Beh: [mm]\IZ x \IZ\subset\IR²[/mm] ist abgeschlossen in [mm]\IR².[/mm]
> Bew:
> zz:
> [mm]\IZ x \IZ\subset\IR²[/mm] ist abgeschlossen in [mm]\IR² \gdw \IR²[/mm] \
> [mm]\IZ x \IZ[/mm] offen.
> Wiederspruchbeweis: Sei [mm]\IR²[/mm] \ [mm]\IZ x \IZ[/mm] abgeschlossen in
> [mm]\IR².[/mm]
> [mm]\rightarrow[/mm] Sei [mm]x_n:=(\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n})[/mm] eine
> Folge in [mm]\IR²[/mm] \ [mm]\IZ x \IZ[/mm], wobei [mm]n\in \IN.[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=x.[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n})=(0,0).[/mm]
>
> Da aber (0,0) [mm]\not\in \IR²[/mm] \ [mm]\IZ x \IZ[/mm], sondern eben in
> [mm]\IZ x \IZ[/mm] folgt:
> [mm]\IR²[/mm] \ [mm]\IZ x \IZ[/mm] ist nicht abgeschlossen in [mm]\IR².[/mm]
Bisher alles korrekt.
> (Achtung hier gehen jetzt meine Fragen ein)
> Da eine Menge entweder offen oder abgeschlossen ist
> folgt:
> [mm]\IR²[/mm] \ [mm]\IZ x \IZ[/mm] offen in [mm]\IR² \rightarrow[/mm] [mm]\IZ x \IZ[/mm]
> abgeschlossen in [mm]\IR².[/mm]
Das ist falsch.
Also deine Menge ist nicht offen, da es in jeder Umgebung um jeden Punkt aus der Teilmenge auch noch unendlich viele Punkte aus [mm] \IR^{2} [/mm] gibt. Das Komplement ist aber sehr wohl offen, da man immer eine Umgebung um jeden Punkt aus [mm] \IR^{2}\setminus\IZ^{2} [/mm] findet, so dass es in dieser Umgebung nur Punkte aus [mm] \IR^{2}\setminus\IZ^{2} [/mm] gibt. So solltest du argumentieren.
Die Teilmenge ist nicht beschränkt.
Gruß,
dormant
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