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| Aufgabe | 1) Es seien [mm] \vec{a},\vec{u},\vec{v}\in\IR^2 [/mm] Vektoren mit [mm] \vec{a},\vec{u},\vec{v}\not=0.
[/mm]
Dann gilt: [mm] \vec{a}\perp\vec{u} [/mm] und [mm] \vec{a}\perp\vec{v} \Rightarrow \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] sind linear abhängig. |
Hallo,
ich lasse jetzt mal die Vektorpfeile weg.. sind alles Vektoren.
Ich weiß also, dass a*u=0 und ich weiß, dass a*v=0. So, wie soll jetzt aber daraus folgen, dass u und v linear abhängig sind?? Das verstehe ich nicht. - Habe glaube ich auch noch nicht so richtig verstanden, was l.a. denn genau heißt... also lässt sich als Linearkombination darstellen und so, dass weiß ich schon... aber so für meine Rechnungen weiß ich nicht, was es dann heißt.. vermute dass hier auch das Problem liegt.
Kann mir jemand helfen? Wie geht man bei der aufgabe weiter vor?
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 Mo 09.06.2008 | | Autor: | abakus |
> 1) Es seien [mm]\vec{a},\vec{u},\vec{v}\in\IR^2[/mm] Vektoren mit
> [mm]\vec{a},\vec{u},\vec{v}\not=0.[/mm]
> Dann gilt: [mm]\vec{a}\perp\vec{u}[/mm] und [mm]\vec{a}\perp\vec{v} \Rightarrow \vec{u}[/mm]
> und [mm]\vec{v}[/mm] sind linear abhängig.
> Hallo,
> ich lasse jetzt mal die Vektorpfeile weg.. sind alles
> Vektoren.
> Ich weiß also, dass a*u=0 und ich weiß, dass a*v=0. So,
> wie soll jetzt aber daraus folgen, dass u und v linear
> abhängig sind?? Das verstehe ich nicht. - Habe glaube ich
> auch noch nicht so richtig verstanden, was l.a. denn genau
> heißt... also lässt sich als Linearkombination darstellen
> und so, dass weiß ich schon... aber so für meine Rechnungen
> weiß ich nicht, was es dann heißt.. vermute dass hier auch
> das Problem liegt.
> Kann mir jemand helfen? Wie geht man bei der aufgabe
> weiter vor?
> Viele Grüße,
> Anna
Hallo,
ich weiß leider nicht, welche Mittel du verwenden darfst. Eigentlich ist es logisch. Wenn in einer Eben [mm] (R^2) [/mm] sowohl a und u als auch a und v senkrecht aufeinander stehen, dann ist u parallel zu v (und der Vektor u damit ein Vielfaches des Vektors v).
Wenn das nicht reicht, dann versuche es mit dem Skalarprodukt.
Wenn die Vektoren senkrecht stehen, sind die Skalarprodukte Null, also
[mm] a_1*u_1+a_2*u_2=0 [/mm] und
[mm] a_1*v_1+a_2*v_2=0
[/mm]
Vielleicht kannst du daraus was machen?
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Di 10.06.2008 | | Autor: | Casandra |
Ich habe das jetzt so probiert.
[mm] \overrightarrow{a} [/mm] * [mm] \overrightarrow{u} [/mm] = 0 und [mm] \overrightarrow{a} [/mm] * [mm] \overrightarrow{v} [/mm] = 0 und es gilt [mm] \overrightarrow{u} [/mm] = t [mm] *\overrightarrow{v}
[/mm]
Dann gilt für [mm] \overrightarrow{a} [/mm] * [mm] \overrightarrow{u} [/mm] = 0
[mm] u_{1} [/mm] * [mm] a_{1} [/mm] + [mm] u_{2} [/mm] * [mm] a_{2} [/mm] = 0 dann [mm] \overrightarrow{u} [/mm] = t [mm] *\overrightarrow{v} [/mm] einsetzen
t * [mm] v_{1} [/mm] * [mm] a_{1} [/mm] + t * [mm] v_{2} [/mm] * [mm] a_{2} [/mm] = 0 und dann kann ich es ja durch t teilen weil t ungleich null ist.
Für [mm] \overrightarrow{a} [/mm] * [mm] \overrightarrow{v} [/mm] = 0 gilt
[mm] v_{1} [/mm] * [mm] a_{1} [/mm] + [mm] v_{2} [/mm] * [mm] a_{2} [/mm] = 0
Muss ich das hier dann nur noch gleichsetzen und habe dann damit gezeigt, dass die Aussage gilt? Hier komme ich dann nicht mehr weiter.
Oder geht dieser Beweis gar nicht?
Liebe Grüße Casandra
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> Ich habe das jetzt so probiert.
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> [mm]\overrightarrow{a}[/mm] * [mm]\overrightarrow{u}[/mm] = 0 und
> [mm]\overrightarrow{a}[/mm] * [mm]\overrightarrow{v}[/mm] = 0 und es gilt
> [mm]\overrightarrow{u}[/mm] = t [mm]*\overrightarrow{v}[/mm]
Hallo,
so kann das doch nicht funktionieren:
Du setzt hier ja die Gültigkeit der Aussage, die Du doch erst beweisen willst, voraus.
Eine Möglichkeit, wie man die Aufgabe lösen kann, habe ich ja hier genannt.
Gruß v. Angela
> Dann gilt für [mm]\overrightarrow{a}[/mm] * [mm]\overrightarrow{u}[/mm] = 0
>
> [mm]u_{1}[/mm] * [mm]a_{1}[/mm] + [mm]u_{2}[/mm] * [mm]a_{2}[/mm] = 0 dann [mm]\overrightarrow{u}[/mm] =
> t [mm]*\overrightarrow{v}[/mm] einsetzen
> t * [mm]v_{1}[/mm] * [mm]a_{1}[/mm] + t * [mm]v_{2}[/mm] * [mm]a_{2}[/mm] = 0 und dann kann
> ich es ja durch t teilen weil t ungleich null ist.
>
> Für [mm]\overrightarrow{a}[/mm] * [mm]\overrightarrow{v}[/mm] = 0 gilt
> [mm]v_{1}[/mm] * [mm]a_{1}[/mm] + [mm]v_{2}[/mm] * [mm]a_{2}[/mm] = 0
>
> Muss ich das hier dann nur noch gleichsetzen und habe dann
> damit gezeigt, dass die Aussage gilt? Hier komme ich dann
> nicht mehr weiter.
> Oder geht dieser Beweis gar nicht?
> Liebe Grüße Casandra
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> 1) Es seien [mm]\vec{a},\vec{u},\vec{v}\in\IR^2[/mm] Vektoren mit
> [mm]\vec{a},\vec{u},\vec{v}\not=0.[/mm]
> Dann gilt: [mm]\vec{a}\perp\vec{u}[/mm] und [mm]\vec{a}\perp\vec{v} \Rightarrow \vec{u}[/mm]
> und [mm]\vec{v}[/mm] sind linear abhängig.
Hallo,
Du kannst hier eine Widerspruchsbeweis führen.
Nimm an, daß
[mm]\vec{a},\vec{u},\vec{v}\in\IR^2[/mm],[mm]\vec{a},\vec{u},\vec{v}\not=0.[/mm], sind mit
[mm]\vec{a}\perp\vec{u}[/mm] und [mm]\vec{a}\perp\vec{v}[/mm], und daß [mm]\vec{u}[/mm] und [mm]\vec{v}[/mm] linear unabhängig sind.
Dann kannst Du [mm] \vec{a} [/mm] als Linearkombi von [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] schreiben, denn Du bist ja im [mm] \IR^2.
[/mm]
Führe dies zu einem Widerspruch zu [mm] \vec{a}\not=\vec{0}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:00 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Casandra |
Es gilt ja dann
[mm] \overrightarrow{a} [/mm] = r * [mm] \overrightarrow{u} [/mm] + s [mm] \overrightarrow{v} [/mm]
Da die Vektoren linear unabhängig sind, müssen r und s ja gleich 0 sein.
Und damit ist a = O und dann hätte ich doch den Widerspruch, weil a [mm] \not= [/mm] 0 ist.
Oder habe ich das hier jetzt alles falsch verstanden.
Liebe Grüße
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> Es gilt ja dann
> [mm]\overrightarrow{a}[/mm] = r * [mm]\overrightarrow{u}[/mm] + s
> [mm]\overrightarrow{v}[/mm]
>
> Da die Vektoren linear unabhängig sind, müssen r und s ja
> gleich 0 sein.
Hallo,
daß r und s beide =0 sein müssen, stimmt.
Aber ich kann nicht sehen, wie Du darauf gekommen bist.
Welches sind die Schritte zwischen [mm]\overrightarrow{a}[/mm] = r * [mm]\overrightarrow{u}[/mm] + s [mm]\overrightarrow{v}[/mm] und r=s=0 ?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Casandra |
ich habe r = s = 0 gesetzt, weil ich ja angenommen habe dass die Vektoren linear unabhängig sind und dann müssen r, s doch gleich 0 sein.
Oder gilt dies in dem Fall nicht, weil ich a als Linearkombination von u und v dargestellt habe?
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> ich habe r = s = 0 gesetzt, weil ich ja angenommen habe
> dass die Vektoren linear unabhängig sind und dann müssen r,
> s doch gleich 0 sein.
> Oder gilt dies in dem Fall nicht, weil ich a als
> Linearkombination von u und v dargestellt habe?
Haargenau.
Wenn da stünde 0=ru+sv, so würde aus der angenommenen linearen Unabhängigkeit von u und v folgen, daß r=s=0. (Denn so ist ja lineare Unabhängigkeit definiert.)
Aus a=ru+sv folgt das nicht so direkt.
Spätestens, wenn Du merkst, daß Du die vorausgesetzte Orthogonalität überhaupt nicht verwendet hast, solltest Du Dich selbstkritisch fragen, an welcher Stelle etwas schiefgegangen ist...
Du hast doch vorausgesetzt, daß a*u=0 und a*v=0 mit a,u,v [mm] \not=0.
[/mm]
Nun hast Du angenommen, daß a=ru+sv.
Nun kombiniere diese Annahme doch mal mit den Voraussetzungen!
Gruß v. Angela
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