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| Aufgabe 1 | Sei $Q [mm] \subseteq \IR^2$ [/mm] das Quadrat mit den Eckpunkten (1, 1), (1,−1), (−1, 1), (−1,−1), und sei [mm] $G\subseteq O(\IR^2)$
[/mm]
[mm] $O(\IR^2)$ [/mm] die Untergruppe, die aus allen [mm] $g\inO(\IR^2)$ [/mm] mit $g(Q) = Q$ besteht.
(i) Bestimmen Sie alle Untergruppen von G.
(ii) Welche davon sind Normalteiler? |
| Aufgabe 2 | Sei U eine Untergruppe einer Gruppe G.
(i) Zeigen Sie, dass $N := [mm] \{x\in G : xUx^{-1} = U\}$ [/mm] eine Untergruppe von G ist.
(ii) Beweisen Sie, dass U ein Normalteiler von N ist. |
zur Aufgabe 2
(i) Hier soll ich zeigen, dass aus [mm] $a,b\in [/mm] N [mm] \Rightarrow a\circ b^{-1}\in [/mm] N$ folgt.
Sei a,b aus N, also
[mm] $aua^{-1}=u \forall u\in U\gdw u=a^{-1}ua\forall u\in [/mm] U$ und
[mm] $bub^{-1}=u \forall u\in U\gdw u=b^{-1}ub\forall u\in [/mm] U$
Damit ist [mm] $a^{-1}ua=b^{-1}ub\gdw u=ab^{-1}uba^{-1}\gdw u=(ab^{-1})u(ab^{-1})^{-1}\gdw ab^{-1} \in [/mm] N$ für alle [mm] $u\in [/mm] U$. Reicht das?![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
(ii) Diesmal soll ich zeigen das U ein Normalteiler von N ist, also U eine Untergruppe von N mit zusätzlich einer der Eigenschaften:
- aH=Ha
- [mm] $aHa^{-1}\subset [/mm] H$
- [mm] $aHa^{-1}=H
[/mm]
Wenn ich mir jetzt a,b aus U nehme, muss ich wieder zeigen, dass [mm] $ab^{-1}\in [/mm] U$ gilt.
Da habe ich aber Probleme überhaupt erst die Menge U zu definieren. Mein Versuch wäre:
[mm] $U:=\{x\in G: Nx=xN\}$ [/mm]
Ich habe folgendes probiert:
[mm] $a,b\in [/mm] U$ [mm] $x,y\in [/mm] N$.
[mm] $xax^{-1}a=a$, $yby^{-1}=b \gdw yb^{-1}y^{-1}=b^{-1}$
[/mm]
Da ich vorwärts kein Plan habe rechne ich rückwärts.
[mm] $ab^{-1}=xax^{-1}yb^{-1}y^{-1}$
[/mm]
Leider weiß ich nicht, wie ich es weiter zusammen fassen soll. Ich muss ja irgendwie auf [mm] $xabx^{-1}=ab$ [/mm] kommen, oder?
Welche der Eigenschaften des Normalteilers soll ich überhaupt benutzen.
Aufgabe 1
Hier hab ich leider absolut keinen Schimmer. Wenn ich die Aufgabenstellung mir anschaue, weiß ich nur, das Q eine Teilmenge von Paaren (x,y) aus dem [mm] $\IR^2$ [/mm] sind. Es gilt auch [mm] $(1,1),(-1,1),(1,-1),(-1,-1)\in [/mm] Q$. G ist irgendeine Untergruppe der Orthogonalen Gruppe [mm] $\IR^2$, [/mm] die irgendwie das Q als Fixpunkte hat. Ich weiß aber nicht, wie ich mir das Anschaulich vorstellen soll und ich die Untergruppen bestimmen kann?
Wäre toll wenn sich eine(r) Zeitnehmen würde mir das zu erklären. Diese Gruppentheorie ist überhaupt nicht mein Ding.
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> Sei [mm]Q \subseteq \IR^2[/mm] das Quadrat mit den Eckpunkten (1,
> 1), (1,−1), (−1, 1), (−1,−1), und sei [mm]G\subseteq O(\IR^2)[/mm]
> >
> Wäre toll wenn sich eine(r) Zeitnehmen würde mir das zu
> erklären. Diese Gruppentheorie ist überhaupt nicht mein
> Ding.
> [mm]O(\IR^2)[/mm] die Untergruppe, die aus allen [mm]g\inO(\IR^2)[/mm] mit
> [mm]g(Q) = Q[/mm] besteht.
> (i) Bestimmen Sie alle Untergruppen von G.
> (ii) Welche davon sind Normalteiler?
> Aufgabe 1
> Hier hab ich leider absolut keinen Schimmer. Wenn ich die
> Aufgabenstellung mir anschaue, weiß ich nur, das Q eine
> Teilmenge von Paaren (x,y) aus dem [mm]\IR^2[/mm] sind. Es gilt auch
> [mm](1,1),(-1,1),(1,-1),(-1,-1)\in Q[/mm]. G ist irgendeine
> Untergruppe der Orthogonalen Gruppe [mm]\IR^2[/mm], die irgendwie
> das Q als Fixpunkte hat. Ich weiß aber nicht, wie ich mir
> das Anschaulich vorstellen soll und ich die Untergruppen
> bestimmen kann?
Hallo,
Du hast ein Quadrat gegeben mit den 4 angegebenen Eckpunkten, und in G sind die Deckabbildungen des Quadrates - also gewisse Spiegelungen und Drehungen. Welche?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 29.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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