orthogonale Matrix, Diagonalma < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Finden Sie eine orthogonale Matrix T und eine Diagonalmatrix D, so daß (T^-1)AT = D, wobei
A= [mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & 1 }
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt |
Hallo erstmal. Mir wurde das Forum von einem Freund empfohlen, der meinte ich solle mich hier einmal melden, falls ich nicht mehr weiter weiß.
Nunja,
Dem ist jetzt auch so. Bei dem Beispiel geht absolut garnichts mehr. Ich schätze mal es geht irgendwie über die Eigenschaften der Matrizen (Transponierte= Inverse) aber wie gesagt steh total im Sumpf
In Hoffnung einer Antwort
Grüsse
Patrik
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> Finden Sie eine orthogonale Matrix T und eine
> Diagonalmatrix D, so daß (T^-1)AT = D, wobei
> A= [mm]\pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & 1 }[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
Diese Aufgabe hat etwas mit den Eigenwerten der Matrix zu tun.
Kannst Du diese bestimmen? Wenn ja: mach es.
Danach bestimme, wenn Du es kannst, jeweils eine Basis des Eigenraumes. (Eigenvektoren)
Ich weiß nun nicht genau, wie weit ich ausholen soll...
Wir haben hier eine symmetrische Matrix vorliegen, das garantiert uns, daß es eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] gibt, welche aus Eigenvektoren der Matrix besteht, und - für die Aufgabenstellung sehr interessant - wir wissen aus der Symmetrie beretis, daß die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten senkrecht aufeinander stehen.
Wir wissen also, daß es eine ONB aus Eigenvektoren gibt, wir müssen sie nur noch finden. Wie das geht: siehe oben.
Der Schritt zur Transformationsmatrix ist danach nur noch klein.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Finden Sie eine orthogonale Matrix T und eine
Diagonalmatrix D, so daß (T^-1)AT = D, wobei
A= [mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & 1} [/mm] |
Ich hab jetzt einmal die Eigenwerte berechnet Diese da wären: {2,-2,4}
Damit hab ich dann die Eigenvektoren berechnet:
Für [mm] \lambda [/mm] = 2:
x= t [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -1}
[/mm]
Für [mm] \lambda [/mm] = -2:
x= t [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 3}
[/mm]
und für Für [mm] \lambda [/mm] = 4:
x= t [mm] \vektor{4 \\ 2 \\ -1}
[/mm]
Lieg ich jetzt mit meiner Überlegung richtig, dass die Eigenvektoren multipliziert mit je einen Parameter den Eigenraum aufspannen?
Und dieser Eigenraum ist nun meine Orthonormalbasis da wie gesagt das ganze symetrisch ist.
Wie komm ich jetzt damit weiter zur Orthogonalmatrix? bzw zur Diagonalmatrix?
Grüsse
Patrik
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> Finden Sie eine orthogonale Matrix T und eine
> Diagonalmatrix D, so daß (T^-1)AT = D, wobei
> A= [mm]\pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & 1}[/mm]
> Ich hab
> jetzt einmal die Eigenwerte berechnet Diese da wären:
> {2,-2,4}
> Damit hab ich dann die Eigenvektoren berechnet:
> Für [mm]\lambda[/mm] = 2:
>
> x= t [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ -1}[/mm]
>
> Für [mm]\lambda[/mm] = -2:
>
> x= t [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 3}[/mm]
>
> und für Für [mm]\lambda[/mm] = 4:
>
> x= t [mm]\vektor{4 \\ 2 \\ -1}[/mm]
>
> Lieg ich jetzt mit meiner Überlegung richtig, dass die
> Eigenvektoren multipliziert mit je einen Parameter den
> Eigenraum aufspannen?
> Und dieser Eigenraum ist nun meine Orthonormalbasis da wie
> gesagt das ganze symetrisch ist.
>
> Wie komm ich jetzt damit weiter zur Orthogonalmatrix? bzw
> zur Diagonalmatrix?
Hallo,
nur ganz kurz: Deine Eigenwerte stimmen,
die Eigenvektoren mußt Du nochmal rechnen, die sind nicht richtig - möglicherweise steckt nur ein kl. Rechenfehler dahinter.
Mal angenommen, Deine Eigenvektoren wären richtig: ja, sie sind jeweils eine Basis des Eigenraumes, welcher aus ihren Vielfachen besteht.
Für Deine Matrix brauchst Du die normierten Eigenvektoren, denn es ist ja eine orthogonale Matrix gesucht, dh. Spalten normiert und die Vektoren paarweise senkrecht.
Gruß v. Angela
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