orthogonale Projektion < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:50 Fr 28.01.2011 | | Autor: | diddy449 |
| Aufgabe | Ein Epimorphismus [mm] \pi:V\to [/mm] U mit [mm] \pi(x)-x\perp [/mm] U für alle [mm] x\in [/mm] V heißt orthogonale Projektion von V auf U
Sei [mm] u_{1},...,u_{n}\in [/mm] U eine orthogonale Basis von U.
Zeigen Sie, dass [mm] \pi(x)=\summe_{i=1}^{n}\bruch{}{}u_{i} [/mm] diese orhtogonale Projektion ist.
(Eindeutigkeit können sie voraussetzen) |
Hey,
ich habe zu dieser Aufgabe einige Fragen.
Aber erstmal ein paar Ansätze:
zz.
1)dieses [mm] \pi [/mm] ist linear
2)dieses [mm] \pi [/mm] ist surjektiv
3)dieses [mm] \pi [/mm] erfüllt [mm] \pi(x)-x\perp [/mm] U für alle [mm] x\in [/mm] V
1)ist leicht mit der Def. des Skalarprodukt zu machen, lass ich mal weg
2)ich weiss, dass für alle [mm] u\in [/mm] U gilt [mm] u=\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}u_{i}=\summe_{i=1}^{n}\bruch{}{}u_{i}, [/mm] also ist [mm] \lambda_{i}=\bruch{}{}
[/mm]
doch dies gilt halt für [mm] u\in [/mm] U und nicht [mm] x\in [/mm] V
Was ist denn zum Beispiel, wenn [mm] V\perp [/mm] U ist, dann gilt für alle [mm] x\in [/mm] V und alle Basisvektoren [mm] u_{i} [/mm] aus U:
[mm] x\perp u_{i} [/mm] und [mm] =0 [/mm]
Und [mm] \pi(x)(=0 [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] V) ist dann offensichtlich nicht surjektiv.
Kann mir hier jemand vllt weiterhelfen?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:08 Fr 28.01.2011 | | Autor: | diddy449 |
Ich habe gerade sowas gelesen, dass wenn eine orthogonale Projektion von V auf U abbildet, dass U ein Untervekorraum von V ist.
Stimmt das?
Damit hätte sich dann meine Frage erledigt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:25 Sa 29.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe gerade sowas gelesen, dass wenn eine orthogonale
> Projektion von V auf U abbildet, dass U ein Untervekorraum
> von V ist.
> Stimmt das?
Ja
FRED
> Damit hätte sich dann meine Frage erledigt.
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