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Forum "Abbildungen und Matrizen" - orthogonale Spiegelung
orthogonale Spiegelung < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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orthogonale Spiegelung: Hallo
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:05 Fr 04.10.2013
Autor: looney_tune

Aufgabe
Betrachtet wird eine orthogonale Spiegelung an der Ebene F: 2x-y+3z = 0
Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix S mit der Methode "Bilder der Basisvektoren".

Die Abbildungsmatrix lautet:

S = [mm] \bruch{1}{7} \pmat{ 3 & 2 & -6 \\ 2 & 6 & 3 \\ -6 & 3 & -2 } [/mm]
Ich habe diese Matrix mit der Householdermatrix herausgedunden. Indem ich zuerst die Householdermatrix N mit den Formeln berechnet habe und anschließdend die Abbildungsmtrix S = E - 2N.
Mein Problem ist jedoch, dass ich nicht weiß, wie ich die Matrix mit der Methode der Basisvektoren bestimmen kann. Kann mir jemand weiterhelfen?

        
Bezug
orthogonale Spiegelung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 Fr 04.10.2013
Autor: angela.h.b.


> Betrachtet wird eine orthogonale Spiegelung an der Ebene F:
> 2x-y+3z = 0
> Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix S mit der Methode
> "Bilder der Basisvektoren".
> Die Abbildungsmatrix lautet:

>

> S = [mm]\bruch{1}{7} \pmat{ 3 & 2 & -6 \\ 2 & 6 & 3 \\ -6 & 3 & -2 }[/mm]

>

> Ich habe diese Matrix mit der Householdermatrix
> herausgedunden. Indem ich zuerst die Householdermatrix N
> mit den Formeln berechnet habe und anschließdend die
> Abbildungsmtrix S = E - 2N.
> Mein Problem ist jedoch, dass ich nicht weiß, wie ich die
> Matrix mit der Methode der Basisvektoren bestimmen kann.
> Kann mir jemand weiterhelfen?

Hallo,

in den Spalten der Abbildungsmatrix stehen die Bilder der Basisvektoren.

Du mußt also "irgendwie" berechnen, was mit den drei Standardbasisvektoren [mm] \vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\1\\0},\vektor{0\\0\\1} [/mm] bei Spiegelung an der besagten Ebene passiert.


LG Angela

Bezug
                
Bezug
orthogonale Spiegelung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:38 Fr 04.10.2013
Autor: looney_tune

ich habe mir eigentlich gedacht, dass ich eine Projektionsgerade mit den Standardbasisvektoren bilde, also g: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\0}+ \lambda \vektor{2\\-1\\3} [/mm] ich habe den Normalenvektor genommen, weil es eine orthogonale Spiegelung ist.
Dann berechnet man [mm] \lambda [/mm] indem man g in F einsetzt. Aber irgendwie bringt mich das auch nicht weiter.

Bezug
                        
Bezug
orthogonale Spiegelung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:55 Fr 04.10.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> ich habe mir eigentlich gedacht, dass ich eine
> Projektionsgerade mit den Standardbasisvektoren bilde, also
> g: [mm]\overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\vektor{1\\0\\0}+ \lambda \vektor{2\\-1\\3}[/mm]
> ich habe den Normalenvektor genommen, weil es eine
> orthogonale Spiegelung ist.
> Dann berechnet man [mm]\lambda[/mm] indem man g in F einsetzt. Aber
> irgendwie bringt mich das auch nicht weiter.

Da solltest du halt nicht einfach (buchstäblich !)
auf halbem Weg stehen bleiben. Das so berechnete [mm] \lambda [/mm]
gehört zum Schnittpunkt der Normalen mit der Ebene F.
Um zum Spiegelpunkt zu kommen, musst du den
[mm] \lambda [/mm] - Wert verdoppeln !

LG ,   Al-Chw.


Bezug
                                
Bezug
orthogonale Spiegelung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:03 Fr 04.10.2013
Autor: looney_tune

ohh super vielen Dank!>


> ich habe mir eigentlich gedacht, dass ich eine

> > Projektionsgerade mit den Standardbasisvektoren bilde, also
> > g: [mm]\overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\vektor{1\\0\\0}+ \lambda \vektor{2\\-1\\3}[/mm]
> > ich habe den Normalenvektor genommen, weil es eine
> > orthogonale Spiegelung ist.
> > Dann berechnet man [mm]\lambda[/mm] indem man g in F einsetzt. Aber
> > irgendwie bringt mich das auch nicht weiter.
>
> Da solltest du halt nicht einfach (buchstäblich !)
>  auf halbem Weg stehen bleiben. Das so berechnete [mm]\lambda[/mm]
>  gehört zum Schnittpunkt der Normalen mit der Ebene F.
>  Um zum Spiegelpunkt zu kommen, musst du den
>  [mm]\lambda[/mm] - Wert verdoppeln !
>  
> LG ,   Al-Chw.
>  


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