orthogonales Komplement < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 So 17.05.2009 | | Autor: | Torquato |
| Aufgabe | | gegeben [mm] \IC [/mm] ^3 mit dem kanonischen Skalarprodukt. Man betrachte den Untervektorraum U : = [mm] \IC [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ i} [/mm] + [mm] \IC [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1}. [/mm] Bestimmen Sie einen Vektor w [mm] \in \IC [/mm] ^3 der Länge 1 mit orthogonales Komplement von U = [mm] \IC [/mm] * w. |
Ich dachte mir, daß sich die Aufgabenstellung in die drei Voraussetzungen
< w, [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ i} [/mm] > = 0
< w, [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1} [/mm] > = 0
|| w || = 1
übersetzen läßt.
Für die Komponenten von w erhalte ich dann aber Ausdrücke, die wieder eingesetzt, die Bedingung (3) nicht erfüllen. Ist der Ansatz falsch, bzw. hab ich mich verrechnet?
Bekomme w3 = [mm] \wurzel{2 / i} [/mm] oder - [mm] \wurzel{2 / i}
[/mm]
w2 = [mm] (-\wurzel{2i} [/mm] - [mm] \wurzel{2/i}) [/mm] / 2
w1 = [mm] \wurzel{2i}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 So 17.05.2009 | | Autor: | pelzig |
> gegeben [mm]\IC[/mm] ^3 mit dem kanonischen Skalarprodukt. Man
> betrachte den Untervektorraum U : = [mm]\IC[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ i}[/mm]
> + [mm]\IC[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 1}.[/mm] Bestimmen Sie einen Vektor w
> [mm]\in \IC[/mm] ^3 der Länge 1 mit orthogonales Komplement von U =
> [mm]\IC[/mm] * w.
> Ich dachte mir, daß sich die Aufgabenstellung in die drei
> Voraussetzungen
> < w, [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ i}[/mm] > = 0
> < w, [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm] > = 0
> || w || = 1
> übersetzen läßt.
Richtig.
> Für die Komponenten von w erhalte ich dann aber Ausdrücke,
> die wieder eingesetzt, die Bedingung (3) nicht erfüllen.
> Ist der Ansatz falsch, bzw. hab ich mich verrechnet?
Du hast dich verrechnet. Die ersten beiden Gleichungen bilden ein LGS, als Lösung habe ich [mm] \lambda\cdot\left(\frac{2}{1-i},1,\frac{-2}{1-i}\right), [/mm] jetzt musst du nur noch [mm] $\lambda\in\IC$ [/mm] so wählen dass die Norm 1 ist.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 So 17.05.2009 | | Autor: | Torquato |
Ergibt sich für die erste Komponente nicht -2i / (1-i) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 So 17.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Ja, wahrscheinlich hab ich mir irgendwo verrechnet, hab jetzt keine Lust das nachzurechnen. Jedenfalls bekommst du als Lösung einen nicht-trivialen Unterraum von [mm] $\IC^3$, [/mm] und da gibt es immer einen Vektor mit Betrag 1.
Gruß, Robert
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