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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 So 14.10.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei V ein Euklidischer oder unitärer Vektorraum. Wieters Sei X Teilmenge von V. Es gilt
X [mm] \subseteq X^{\perp\perp} [/mm] |
Hei,
Ich vertehe gar nicht was [mm] X^{\perp\perp} [/mm] ist.
Laut Definition [mm] X^{\perp} [/mm] := [mm] \{ v \in V| \forall x \in X =0 \} [/mm]
Ich verstehe den Begriff anscheinend nicht ausreichend genug, dass ist das Beispiel lösen könnte - obwohl es sicher nicht schwer ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 So 14.10.2012 | | Autor: | pits |
Hi sissile
> Sei V ein Euklidischer oder unitärer Vektorraum. Wieters
> Sei X Teilmenge von V. Es gilt
> X [mm]\subseteq X^{\perp\perp}[/mm]
> Hei,
> Ich vertehe gar nicht was [mm]X^{\perp\perp}[/mm] ist.
> Laut Definition [mm]X^{\perp}[/mm] := [mm]\{ v \in V| \forall x \in X =0 \}[/mm]
Dann ist [mm]X^{\perp\perp}=\{ v \in V| \forall x \in X^\perp =0 \}[/mm]
Damit kann man die Behauptung zeigen. Ich würde so starten:
Sei $a [mm] \in [/mm] X$. Z.z. ist, dass $a [mm] \in X^{\perp\perp}$, [/mm] d.h. [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in X^\perp [/mm] <x,a>=0$ ...
> Ich verstehe den Begriff anscheinend nicht ausreichend
> genug, dass ist das Beispiel lösen könnte - obwohl es
> sicher nicht schwer ist.
[mm] $X^\perp$ [/mm] ist sozusagen der Vektorraum, der orthogonal zur Menge $X$ liegt. Wenn man es z.B. auf den dreidimensionalen Raum bezieht und X sei die Menge [mm] $\{ (0,0,0)^T, (1,0,0)^T \}$, [/mm] also der Ursprung und ein Punkt auf der [mm] $x_1$-Achse, [/mm] dann ist das orthogonale Komplement [mm] $X^\perp$ [/mm] der Vektorraum der aus der [mm] $x_2 x_3$-Ebene [/mm] besteht. Und das dazu orthogonale Komplement [mm] $X^{\perp\perp}$ [/mm] ist der Vektorraum der aus der [mm] $x_1$-Achse [/mm] besteht. Man erhält also vermutlich immer den kleinsten Vektorraum, der X enthält.
Gruß
pits
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 So 14.10.2012 | | Autor: | sissile |
Ah danke ;))
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 So 14.10.2012 | | Autor: | sissile |
Jetzt habe ich noch eine Frage!
Wieso gilt für [mm] X_1, X_2 [/mm] Teilmengen von V:
[mm] (X_1 \cup X_2)^{\perp} [/mm] = [mm] X_1^{\perp} \cap X_2^{\perp}
[/mm]
[mm] (X_1 \cup X_2)^{\perp} [/mm] .. sind alle vektoren die zu Elementen in [mm] X_1 [/mm] und Elementen ind [mm] X_2 [/mm] orthogonal sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 So 14.10.2012 | | Autor: | pits |
> Wieso gilt für [mm]X_1, X_2[/mm] Teilmengen von V:
> [mm](X_1 \cup X_2)^{\perp}[/mm] = [mm]X_1^{\perp} \cap X_2^{\perp}[/mm]
Wenn die Gleichheit von zwei Mengen zu zeigen ist, würde ich es zunächst standardmäßig mit den Gegenseitigen Inklusionen veruschen also 1. [mm](X_1 \cup X_2)^{\perp} \subset X_1^{\perp} \cap X_2^{\perp}[/mm] und 2. [mm](X_1 \cup X_2)^{\perp} \supset X_1^{\perp} \cap X_2^{\perp}[/mm]. Für den ersten Fall nehme ich ein Element aus der linken Menge und zeige, dass es in der rechten ist. Für den zweiten Fall umgekehrt. Also z.B. so:
Sei $x [mm] \in (X_1 \cup X_2)^\perp$, [/mm] dann gilt $<x,v>=0 [mm] \forall [/mm] v [mm] \in (X_1 \cup X_2)$. [/mm] Das kann man dann trennen und hat somit das x Element der rechten Menge ist. Dann muss man das ganze nochmal von der anderen Seite aus starten und schon bist du fertig.
> [mm](X_1 \cup X_2)^{\perp}[/mm] .. sind alle vektoren die zu
> Elementen in [mm]X_1[/mm] und Elementen ind [mm]X_2[/mm] orthogonal sind.
Genau. Also wieder das Beispiel im dreidimensionalen Raum. Sei [mm] $X_1$ [/mm] die Menge mit einem (oder mehreren) Punkten der [mm] $x_1$-Achse [/mm] und [mm] $X_2$ [/mm] entsprechend für die [mm] $x_2$-Achse.
[/mm]
Dann sind die komplementären Vektorräume jeweils Ebenen und deren Schnitt ist die [mm] $x_3$-Achse [/mm] bzw. das orthogonale Komplement zur Vereinigung ist direkt die [mm] $x_3$-Achse.
[/mm]
Gruß
pits
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 So 14.10.2012 | | Autor: | sissile |
> Sei $ x [mm] \in (X_1 \cup X_2)^\perp [/mm] $, dann gilt $ <x,v>=0 [mm] \forall [/mm] v [mm] \in (X_1 \cup X_2) [/mm] $. Das kann man dann trennen
Wie meinst du das mit dem "trennen" Mir ist klar dass <x,v>=0 für v in [mm] X_1 [/mm] und für v in [mm] X_2 [/mm] gilt. Aber wie kommt es dann zum Durchschnitt, statt der Vereinigung ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 So 14.10.2012 | | Autor: | pits |
> > Sei [mm]x \in (X_1 \cup X_2)^\perp [/mm], dann gilt [mm]=0 \forall v \in (X_1 \cup X_2) [/mm].
> Das kann man dann trennen
> Wie meinst du das mit dem "trennen" Mir ist klar dass
> <x,v>=0 für v in [mm]X_1[/mm] und für v in [mm]X_2[/mm] gilt. Aber wie
> kommt es dann zum Durchschnitt, statt der Vereinigung ?
trennen ist wirklich kein guter Begriff. Ich meine:
[mm] $=0\quad \forall [/mm] v [mm] \in (X_1 \cup X_2) \gdw \left( =0\quad \forall v \in X_1 \right) \wedge \left( =0\quad \forall v \in X_2 \right)$
[/mm]
Jetzt ist die Aussage in jeweils eine Aussage für jede Menge "getrennt"
pits
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 So 14.10.2012 | | Autor: | sissile |
Hei,
Danke für die Hilfe.
Jetzt hab ich das endlich verstanden ;)
Schönen Sonntag noch ,LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 So 14.10.2012 | | Autor: | pits |
> Jetzt hab ich das endlich verstanden ;)
> Schönen Sonntag noch ,LG
das freut mich! Gleichfalls!
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