orthonormalbasis gesucht < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] \IR^{3} [/mm] versehen mit dem Standard-Skalarprodukt < >. Man finde
eine orthonormale Basis von [mm] \IR^{3}, [/mm] in der die folgende quadratische Form Diagonalgestalt
hat:
[mm] 5x_{1}^{2}+5x_{2}^{2}+5x_{3}^{2}-2x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}-2x_{2}x_{3} [/mm] |
meine idee:
die darstellungsmatrix der quadratischen form ist:
[mm] A=\pmat{ 5 & -1 & -1 \\ -1 & 5 & -1 \\ -1 & -1 & 5 }
[/mm]
nun könnte ich ja die eigenwerte dieser matrix berechnen,dann die eigenvektoren,sie dann orthonormieren und dann hoffen ,dass mit dieser weiteren matrix: [mm] B^{-1}AB [/mm] diagonalgestalt hat?
andererseits könnte ich vielleicht die spaltenvektoren von A betrachten:
der erste steht schon senkrecht auf dem [mm] dritten(v_{1}\perp v_{3}),
[/mm]
dann bräuchte ich nur noch [mm] v_{2} [/mm] zu orthonormieren?
auf jeden fall müsste [mm] ||v_{i}||=1 [/mm] gelten,wobei die [mm] v_{i} [/mm] eigenvektoren wären.kann mir vielleicht jemand netterweise weiterhelfen,ich wäre sehr dankbar?
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Hallo pumpernickel,
> Es sei [mm]\IR^{3}[/mm] versehen mit dem Standard-Skalarprodukt < >.
> Man finde
> eine orthonormale Basis von [mm]\IR^{3},[/mm] in der die folgende
> quadratische Form Diagonalgestalt
> hat:
>
> [mm]5x_{1}^{2}+5x_{2}^{2}+5x_{3}^{2}-2x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}-2x_{2}x_{3}[/mm]
> meine idee:
> die darstellungsmatrix der quadratischen form ist:
>
> [mm]A=\pmat{ 5 & -1 & -1 \\ -1 & 5 & -1 \\ -1 & -1 & 5 }[/mm]
>
> nun könnte ich ja die eigenwerte dieser matrix
> berechnen,dann die eigenvektoren,sie dann orthonormieren
> und dann hoffen ,dass mit dieser weiteren matrix: [mm]B^{-1}AB[/mm]
> diagonalgestalt hat?
Gehe so vor.
>
> andererseits könnte ich vielleicht die spaltenvektoren von
> A betrachten:
> der erste steht schon senkrecht auf dem [mm]dritten(v_{1}\perp v_{3}),[/mm]
>
> dann bräuchte ich nur noch [mm]v_{2}[/mm] zu orthonormieren?
> auf jeden fall müsste [mm]||v_{i}||=1[/mm] gelten,wobei die [mm]v_{i}[/mm]
> eigenvektoren wären.kann mir vielleicht jemand netterweise
> weiterhelfen,ich wäre sehr dankbar?
>
Keiner der Spaltenvektoren von A steht senkrecht auf den anderen.
Gruß
MathePower
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hallo mathepower,
danke für die antwort,aber wieso hat dann die matrix aus eigenvektoren dann
unbedingt diagonalgestalt obwohl ich sie auch noch orthonormiere?
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Hallo pumpernickel,
> hallo mathepower,
> danke für die antwort,aber wieso hat dann die matrix aus
> eigenvektoren dann
> unbedingt diagonalgestalt obwohl ich sie auch noch
> orthonormiere?
Das ist eine der Eigenschaften einer ![[]](/images/popup.gif) symmetrischen Matrix.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:46 Sa 14.06.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo Pumpernickel!
Zur Erlangung einer Orthonormalbasis bedient man sich dem sogenannten "Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren". Dabei berechnet man zunächst eine Orthogonalbais. Durch die Normierung der linear unabhängigen Vektoren, welche die gefundene Orthongonalbasis aufspannen, erreicht man dann die gewünschte Orthonormalbasis. Je nachdem welche mathematische Literatur dir gerade zur Verfügung steht, könntest du ja mal das Vorgehen dieses Verfahrens nachschlagen. Solltest du keine Möglichkeit haben jenes Verfahren nachzuschauen, würde ich es dir dann genauer erläutern. Gruß, Marcel
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