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Forum "Uni-Numerik" - orthonormalsystem
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orthonormalsystem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:13 So 15.05.2005
Autor: Dschingis

hi,

mit der folgenden frage, kann ich gar nichts anfangen, ich weiß zwar die einzelheiten, der verschiedenen dinge, aber ich kann sie irgendwie nicht richtig verknüpfen.

man zeige, dass die funktion  [mm] \phi_{0} (x)\equiv \bruch{1}{\wurzel{2\pi}} [/mm]
ein Orthonormalsystem des Teilraums [mm] T_{n} \subset C[-\pi,\pi] [/mm] der trigonometrischen Polynomen vom grad [mm] \le [/mm] n bzgl. des [mm] L^{2} [/mm] -Skalarprodukts üder dem Intervall [mm] [-\pi,\pi] [/mm] ist und bestimme die beste approximation der funktion f(x)=x in [mm] T_{n}. [/mm]

das [mm] L^{2}-Skalarprodukt [/mm] ist definiert als:

[mm] (f,g)\equiv \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x) [mm] \overline{g(x)} [/mm] dx} ,  (f,f)= [mm] \parallel f\parallel^{2} [/mm]

ich habe keine ahnung, wie ich die ganzen definitionen verknüpfen soll, da mir etwas derartiges noch nicht untergekommen ist.

bitte helft mir

greetz

dschingis

        
Bezug
orthonormalsystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:27 Mo 16.05.2005
Autor: Stefan

Hallo Dschingis!

Für eine Funktion [mm] $\phi_0$ [/mm] bedeutet "Orthonormalsystem" ja einfach nur

[mm] $\Vert \phi_0 \Vert=1$, [/mm]

was man aber unmittelbar (einfach!) nachrechnet.

Für den zweiten Teil musst du dir eine Orthonormalsystem [mm] $(\phi_k)_{k \in \IZ}$ [/mm] aus [mm] $T_n$ [/mm] hernehmen (oder mit Gram-Schmidt aus einer beliebigen Basis von [mm] $T_n$ [/mm] "basteln") und dann die Bestapproximierende gemäß

[mm] $\sum\limits_{k \in \IZ} \langle f,\phi_k \rangle \phi_k$ [/mm]

berechnen.

Leider kenne ich mich mit dem Raum [mm] $T_n$ [/mm] zu wenig aus, sonst würde ich dir genauere Tipps (etwa über das Aussehen der ON-Basis) geben. Vielleicht kann dir ja jemand anderes besser helfen. Andererseits hast du so wenigstens Anhaltspunkte darüber, wonach du in deinem Skript mal suchen könntest.

Viele Grüße
Stefan

Bezug
        
Bezug
orthonormalsystem: Hilfestellung
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 15:03 Mo 16.05.2005
Autor: MathePower

Hallo dschingis,
  

> man zeige, dass die funktion  [mm]\phi_{0} (x)\equiv \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}[/mm]
>  
> ein Orthonormalsystem des Teilraums [mm]T_{n} \subset C[-\pi,\pi][/mm]
> der trigonometrischen Polynomen vom grad [mm]\le[/mm] n bzgl. des
> [mm]L^{2}[/mm] -Skalarprodukts üder dem Intervall [mm][-\pi,\pi][/mm] ist und

hier ist folgendes nachzuprüfen:

[mm]\begin{gathered} \int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {\phi _0 \left( x \right)\;} \phi _0 \left( x \right)\; = \;1 \hfill \\ \int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {\phi _0 \left( x \right)\;} \sin \left( {kx} \right)\; = \;0 \hfill \\ \int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {\phi _0 \left( x \right)\;} \cos \left( {kx} \right)\; = \;0 \hfill \\ \end{gathered} [/mm]

Ein Orthonormalsystem ist also durch [mm]\phi _0 \left( x \right),\;\sin \left( x \right),\;\cos \left( x \right),\;\sin \left( {2x} \right),\;\cos \left( {2x} \right),\; \ldots \;,\;\sin \left( {nx} \right),\;\cos \left( {nx} \right)[/mm] gegeben.

> bestimme die beste approximation der funktion f(x)=x in
> [mm]T_{n}.[/mm]
>  
> das [mm]L^{2}-Skalarprodukt[/mm] ist definiert als:
>  
> [mm](f,g)\equiv \integral_{a}^{b} {f(x) \overline{g(x)} dx}[/mm] ,  
> (f,f)= [mm]\parallel f\parallel^{2}[/mm]

Hier sind dann folgende Integrale zu berechnen:

[mm]\begin{gathered} \int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {x\;} \phi _0 \left( x \right)\; = \;a_{0} \hfill \\ \int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {x\;} \sin \left( {kx} \right)\; = \;b_{k} \hfill \\ \int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {x\;} \cos \left( {kx} \right)\; = \;a_{k} \hfill \\ \end{gathered}[/mm]

Dann schreibt sich x als trigonometrisches Polynom wie folgt:

[mm]T_{n} \left( x \right)\; = \;a_0 \; + \;\sum\limits_{k = 1}^{n} {\left( {a_{k} \;\cos \left( {kx} \right)\; + \;b_{k} \;\sin \left( {kx} \right)} \right)} [/mm]

Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
orthonormalsystem: Orthonormalsystem=ONB?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:00 Mo 16.05.2005
Autor: mathemaduenn

Hallo Mathepower,
Wie genau der Begriff Orthonormalsystem definiert ist weiß ich nicht. Für eine Orthonormalbasis müsste man die cos und sin Funktionen aber noch durch [mm] \pi [/mm] teilen.
Für die Berechneung der Koeffizienten des trigonometrischen Polynoms ist das auf jeden Fall erforderlich da sonst die Bestapproximation von cos(x) [mm] \pi\cos(x) [/mm] wäre was ja keinen Sinn macht.
viele Grüße
mathemaduenn

Bezug
                        
Bezug
orthonormalsystem: Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:38 Di 17.05.2005
Autor: MathePower

Hallo mathemaduenn.

> Hallo Mathepower,
>  Wie genau der Begriff Orthonormalsystem definiert ist weiß
> ich nicht. Für eine Orthonormalbasis müsste man die cos und
> sin Funktionen aber noch durch [mm]\pi[/mm] teilen.
>  Für die Berechneung der Koeffizienten des
> trigonometrischen Polynoms ist das auf jeden Fall
> erforderlich da sonst die Bestapproximation von cos(x)
> [mm]\pi\cos(x)[/mm] wäre was ja keinen Sinn macht.

in meiner Eile hab ich den Faktor [mm]\pi[/mm] vergessen

Es muss also heißen ( k > 0):

[mm]\begin{gathered} \frac{1} {\pi }\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {x\;} \sin \left( {kx} \right)\; = \;b_k \hfill \\ \frac{1} {\pi }\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {x\;} \cos \left( {kx} \right)\; = \;a_k \hfill \\ \end{gathered} [/mm]

Gruß
MathePower


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