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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:42 Di 02.12.2014 | | Autor: | Maletisiia |
| Aufgabe | Es sei $p>2$ eine Primzahl, [mm] $\mathbb{F}_p$ [/mm] der Körper mit p Elementen, [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] beliebig und [mm] $G_{p,n}$ [/mm] die Gruppe der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen aus [mm] $\mathbb{F}^{n\times n}_p$.
[/mm]
a) Welche Ordnung haben die p-Sylowgruppen von [mm] $G_{p,n}$?
[/mm]
b) Bestimme für jede Primzahl [mm] $q\geq2$ [/mm] die Ordnung der q-Sylowgruppen von [mm] $G_{127,n}$ [/mm] |
Hallo allerseits,
diese Aufgabe bereitet mir ein wenig Kopfzerbrechen obwohl sie recht einfach aussieht.
Ich habe mir zuerst überlegt das [mm] $G=G_{p,n}$ [/mm] wirklich eine Gruppe ist und mir klar gemacht wie diese Matrizen aussehen, dh. [mm] $x\in \mathbb{F}_p\setminus\{0\}$ [/mm] auf der Hauptdiagonalen, oberhalb [mm] $x\in \mathbb{F}_p$, [/mm] sonst 0.
Nun weiß ich das das es für jeden Primteiler q von $|G|$ eine p-Slowgrp. von G gibt (und natürlich weiß ich noch ein wenig mehr). Nur kenne ich die Ordnung von G nicht, was mich zu meinem ersten Problem führt. Desweiteren weiß ich leider nicht wie ich mit Hilfe der Sylowsätze oä. die Ordnung der p-Sylowgruppen bestimmen kann.
Ich wäre für Hilfe und Denkanstöße sehr dankbar.
Liebe Grüße
Maletisiia
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 Di 02.12.2014 | | Autor: | hippias |
Das, was Du bisher gesagt hast, muesste ausreichend sein. Um die Gruppenordnung herauszufinden, fange ich so an: Auf der Hauptidiagonalen stehen $n$ Koerperelemente [mm] $\neq [/mm] 0$. Fuer diese gibt es also genau [mm] $(p-1)^{n}$ [/mm] Moeglichkeiten. Nun zaehle die moeglichen Eintraege fuer die anderen Plaetze.
Wenn Du die Gruppenordnung bestimmt hast, ergibt sich vielleicht auch schon eine Idee, welche Matrizen eine $p$-Sylowgruppe bilden koennten. Um dann deren Anzahl zu bestimmen, berechnest Du einfach ihren Normalisator.
Das Wochenende kann kommen...
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> Fuer diese gibt es also genau [mm](p-1)^{n}[/mm] Moeglichkeiten. Nun
> zaehle die moeglichen Eintraege fuer die anderen Plaetze.
Für die Einträge oberhalb der Hauptdiag. sollte es ja dann [mm] $1+2+...+n-1=\frac{n(n-1)}{2}$ [/mm] Felder, also [mm] $p^\frac{n(n-1)}{2}$ [/mm] Möglichkeiten. Insgesamt sollte es doch dann [mm] p^\frac{n(n-1)}{2}+(p-1)^n$ [/mm] Möglichkeiten der Einträge geben.
> Wenn Du die Gruppenordnung bestimmt hast, ergibt sich
> vielleicht auch schon eine Idee, welche Matrizen eine
> [mm]p[/mm]-Sylowgruppe bilden koennten.
Ist das dann die Ordnung? Wenn nein, wüsste ich ab hier nicht weiter.
> Um dann deren Anzahl zu bestimmen, berechnest Du einfach ihren Normalisator.
>
Normalisator ist kein Begriff den wir in der Vorlesung definiert haben. Ist das sowas wie die Konjugiertenklasse?
> Das Wochenende kann kommen...
Und danke für die schnelle Antwort und Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:04 Mi 03.12.2014 | | Autor: | hippias |
> > Fuer diese gibt es also genau [mm](p-1)^{n}[/mm] Moeglichkeiten. Nun
> > zaehle die moeglichen Eintraege fuer die anderen Plaetze.
>
> Für die Einträge oberhalb der Hauptdiag. sollte es ja
> dann [mm]$1+2+...+n-1=\frac{n(n-1)}{2}$[/mm] Felder, also
> [mm]$p^\frac{n(n-1)}{2}$[/mm] Möglichkeiten. Insgesamt sollte es
> doch dann [mm]p^\frac{n(n-1)}{2}+(p-1)^n$[/mm] Möglichkeiten der
> Einträge geben.
Ein kleiner, aber um so klassischerer Denkfehler. Da die Eintraege unabhaengig voneinander gewaehlt werden koennen, bildest Du nicht die Summe...
> > Wenn Du die Gruppenordnung bestimmt hast, ergibt sich
> > vielleicht auch schon eine Idee, welche Matrizen eine
> > [mm]p[/mm]-Sylowgruppe bilden koennten.
>
> Ist das dann die Ordnung? Wenn nein, wüsste ich ab hier
> nicht weiter.
Nein, s.o.
> > Um dann deren Anzahl zu bestimmen, berechnest Du einfach
> ihren Normalisator.
> >
> Normalisator ist kein Begriff den wir in der Vorlesung
> definiert haben. Ist das sowas wie die Konjugiertenklasse?
Das finde ich interessant. Sei $G$ eine Gruppe und [mm] $H\leq [/mm] G$ Untergruppe. Dann heisst [mm] $N_{G}(H):= \{g\in G|H^{g}= H\}$ [/mm] der Normalisator von $H$ in $G$. Man koente auch sagen, das ist der Stabilisator der Konjugation auf der Menge der Untergruppen von $G$. Wenn das nicht bekannt sein sollte, waere ich neugierig, was ihr bisher ueber Sylowgruppen gelernt habt, damit ich meine Antworten anpassen kann.
> > Das Wochenende kann kommen...
> Und danke für die schnelle Antwort und Hilfe!
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> Ein kleiner, aber um so klassischerer Denkfehler. Da die
> Eintraege unabhaengig voneinander gewaehlt werden koennen,
> bildest Du nicht die Summe...
Wegen der Unabhängigkeit sollte es doch dann multipliziert werden:
[mm] $$p^\frac{n(n-1)}{2}*(p-1)^n$$
[/mm]
Was nach längerer Überlegen dann die Ordnung sein sollte. G sollte dann eine p-Gruppe sein, da Primpotenzordnung? Dies scheint mir ein wenig schwammig.
> > > Wenn Du die Gruppenordnung bestimmt hast, ergibt sich
> > > vielleicht auch schon eine Idee, welche Matrizen eine
> > > [mm]p[/mm]-Sylowgruppe bilden koennten.
Ich habe mir überlegt das die oberen Dreiecksmatrizen mit [mm] $1\in\mathbb{F}_p$ [/mm] auf der Hauptdiag. und dem Rest frei wählbar mit [mm] $\frac{n(n-1)}{2}$ [/mm] Möglichkeiten, eine Sylowgruppe bilden sollte, da diese UG von Matrizen die Ordnung [mm] $p^\frac{n(n-1)}{2}$ [/mm] hat, welche ein Primteiler von G ist.
> > > Um dann deren Anzahl zu bestimmen, berechnest Du einfach ihren Normalisator.
> Das finde ich interessant. Sei Geine Untergruppe. Dann heisst [mm]N_{G}(H):= \{g\in G|H^{g}= H\}[/mm] der
> Normalisator von [mm]H[/mm] in [mm]G[/mm]. Man koente auch sagen, das ist der
> Stabilisator der Konjugation auf der Menge der Untergruppen
> von [mm]G[/mm]. Wenn das nicht bekannt sein sollte, waere ich
> neugierig, was ihr bisher ueber Sylowgruppen gelernt habt,
> damit ich meine Antworten anpassen kann.
Wir haben eine ähnliche Definition:
1) Sei G eine endliche Gruppe. G ist die disjunkte Vereinigung ihrer Konjugierteklassen [mm] $X^G=\{gxg^{-1}|g\in G \}$. [/mm]
2) Sei [mm] $x\in [/mm] G$. Dann gilt [mm] $|X^G|=\frac{|G|}{|Stabx|}$, [/mm] mit Stabx ist der Stabilisator von x.
Über die Sylowgruppen haben wir soweit alles gelernt (dh. Thema ist abgeschlossen). Ich gebe dir einen kurzen überblick:
p-Gruppe, p-Sylowgruppe, G abelsch und p Primteiler der ordG dann hat G ein Element der ordp., Satz von Cauchy, Gruppen der Ordnung [mm] $p^2$, [/mm] die Sylowsätze, Folgerungen der Sylowsätze, Gruppen der Ordnung $p*q$ mit p,q Prim., und noch ein paar weitere Sätze über Gruppen mit Primzahl Ordnung. Ich kann dir bestimmt, falls bedarf besteht, das Skript schicken via pn.
Danke soweit schonmal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Mi 03.12.2014 | | Autor: | hippias |
Gut, alles ist ganz richtig; besonders Deine Vermutung, dass die Matrizen mit $1$ auf der Hauptdiagonalen eine $p$-Sylowgruppe bilden.
Wie ihr das Thema Satz von Sylow abgeschlossen habt ohne Normalisatoren zu erwaehnen, ist mir schleierhaft. Wenn Du jedenfalls die Anzahl dieser Untergruppen berechnen moechtest, dann konjugiere Dein Beispiel mal und schau, was da herauskommt.
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