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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:29 Do 20.05.2004 | | Autor: | majorlee |
hi,
ich habe noch nicht ganz gecheckt, was die p-normen genau sein sollen.
eine p-norm ist ja definiert als:
[mm] \Vert x \Vert_p = \{\summe_{k=1}^{n} | \xi_k|^p\}^\bruch{1}{p} [/mm] und [mm] \Vert x \Vert_\infty = \max\limits_{k=1,...,n} | \xi_k| [/mm]
so, das ist ja alles kein problem, da es ja einfach so definiert ist, aber jetzt sollen wir beweisen, dass die gleichung
[mm] \Vert x \Vert=\Vert y \Vert=1, x\ney \Rightarrow \bruch {1}{2} \Vert x+y \Vert<1 [/mm]
für die 2-norm gilt, für die 1-norm und [mm] $\infty$-norm [/mm] aber nicht...
ich denke, der beweis an sich ist nicht so das schwierige, wenn ich mir ein genaueres bild davon machen könnte, was die p-normen eigentlich sind... wie muss ich mir das vorstellen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:36 Fr 21.05.2004 | | Autor: | andreas |
hi
was mir bei dem verständnis dieser normen weitergeholfen hat war, dass ich mir einfach mal die menge aller punkte aufgezeichnet habe, deren ortsvektoren die norm 1 haben (z.b. im [m] \mathbb{R}^2 [/m]). bei der 2- norm ist dies einfach die ganz normale einheitskugel - also im [m] \mathbb{R}^2 [/m] ein kreis mit radius 1 um den ursprung.
in der [m] \infty [/m]-norm hat ein vektor norm 1, sobald die größte koordinaten gleich 1 ist. also ergibt sich für die menge aller punkte die norm eins haben ein würfel um den ursprung, dessen kantenlänge 2 ist. also im [m] \mathbb{R}^2 [/m] ein quadrat mit den eckpunkten (1,1), (1,-1), (-1,-1), (-1,1).
in der 1-norm ist dies schon nicht mehr so klar zu sehen, aber mit etwas überlegung sieht man, dass es sich hier auch um ein würfel handelt, der aber etwas anders gelagert ist. im beispiel [m] \mathbb{R}^2 [/m] ist dies ein quadrat mit kantenlänge [m] \sqrt{2} [/m], welches seine eckpunkte in (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1) hat.
gehst du nun von 1 in richtung unendlich so verformt sich diese ursprüngliche quadrat und schmiegt sich immer mehr dem quadrat an, das für die [m] \infty [/m]-norm oben beschrieben wurde.
mach dir einfach mal eine skizze dazu!
wenn dir meine erklärung unverständlich vorkommen solltest du am besten mal in einem analysis- (oder vielleicht gar funktionalanalysis-) buch nachschauen, da sind meistens solche abbildungen drin!
zu deiner aufgabe:
den beweis führst du wohl am einfach mit - der bei euch anscheinend recht viel strapazierten - parallelogramm-identität, da die 2-norm von einem skalar-produkt induziert wird. für die beiden gegenbeispiele kannst du jeweils die selben vektoren wählen (die eignetlich nur eine nicht-triviale dimension haben).
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:49 Fr 21.05.2004 | | Autor: | andreas |
hi
das mit der beweisidee für die 2-norm ist natürlich quatsch (siehe marc's posting) - ich hatte die 2er in der parallelogramm-identität unterschlagen.
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:34 Fr 21.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo majorlee,
> eine p-norm ist ja definiert als:
>
> [mm]\Vert x \Vert_p = \{\summe_{k=1}^{n} | \xi_k|^p\}^\bruch{1}{p}[/mm]
> und [mm]\Vert x \Vert_\infty = \max\limits_{k=1,...,n} | \xi_k|[/mm]
>
>
> so, das ist ja alles kein problem, da es ja einfach so
> definiert ist, aber jetzt sollen wir beweisen, dass die
> gleichung
>
> [mm]\Vert x \Vert=\Vert y \Vert=1, x\ney \Rightarrow \bruch {1}{2} \Vert x+y \Vert<1[/mm]
>
>
> für die 2-norm gilt, für die 1-norm und [mm] $\infty$-norm [/mm] aber
> nicht...
Das verstehe ich nicht, meiner Meinung nach fehlt da eine Voraussetzung, denn
$n=x=y=1$
ist eine Gegenbeispiel für alle drei Normen:
Es gilt für $x=y=1$:
[mm] $\|x\|_2=\|y\|_2=\{|1|^2\}^\bruch{1}{2}=1$
[/mm]
und
[mm] $\|x+y\|_2=\{|1+1|^2\}^\bruch{1}{2}=\{2^2\}^\bruch{1}{2}=2$
[/mm]
also
[mm] $\bruch{1}{2}\|x+y\|_2\not<1$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:11 Fr 21.05.2004 | | Autor: | majorlee |
hi,
es geht heißt ja nicht [mm] x=y=1 [/mm], sondern [mm]\Vert x \Vert=\Vert y \Vert=1 [/mm]
=)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:50 Fr 21.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo majorlee,
> es geht heißt ja nicht [mm]x=y=1 [/mm], sondern [mm]\Vert x \Vert=\Vert y \Vert=1[/mm]
schon, aber der [mm] $\IR^1$ [/mm] ist ja auch ein Vektorraum, weswegen für $n=x=1$ gilt:
[mm] $\|x\|_p=\left\{\summe_{k=1}^1 |x_k|^p\right\}^\bruch{1}{p}=\left\{|1|^p\right\}^\bruch{1}{p}=1$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 Fr 21.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Majorlee,
sowohl Andreas Beweisidee als auch Marc Gegenbeispiel waren richtig.
Nur hast du leider die Voraussetzung $x [mm] \ne [/mm] y$ vergessen. Schau bitte noch einmal auf dein Aufgabenblatt, ich wette, das steht da irgendwo.
Naja. 
Für die $2$-Norm gilt nun für [mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert [/mm] = [mm] \Vert [/mm] y [mm] \Vert [/mm] = 1$, $x [mm] \ne [/mm] y$, mit Hilfe der Parallelogrammgleichung:
[mm]\Vert x + y \Vert^2[/mm]
[mm] = 2 \underbrace{\Vert x \Vert^2}_{=\, 1} + 2 \underbrace{\Vert y \Vert^2}_{=\, 1} - \underbrace{\Vert x-y \Vert^2}_{>\, 0}[/mm]
[mm]< 4[/mm],
woraus die Behauptung folgt.
Ein Gegenbeispiel für die $1$-Norm ist für $n=2$:
[mm]x = \begin{pmatrix}1\\ 0 \end{pmatrix}[/mm], [mm]y = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
und für die [mm] $\infty$-Norm [/mm] tuen es, ebenfalls für $n=2$:
[mm]x = \begin{pmatrix}1\\ 0 \end{pmatrix}[/mm], [mm]y = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm].
Alles klar?
Liebe Grüße
Stefan
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