p^2 gerade => p gerade < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Di 03.03.2009 | | Autor: | chorizo |
Ich schäme mich, aber ich komme auf keinen Beweis für folgenden, sehr elementaren Sachverhalt:
Wenn [mm] p^2 [/mm] gerade, dann ist auch p gerade.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Di 03.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo chorizo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Führe einen Widerspruchsbeweis, indem Du zu zeigen versuchst, dass $p_$ ungerade.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 Di 03.03.2009 | | Autor: | chorizo |
Wie es ab und zu vorkommt, fällt mir die Lösung ein, sowie ich die Frage gestellt habe.
Widerspruchsbeweis hatte ich versucht, mir fiel aber -- bis eben gerade -- partout nicht ein, dass [p ungerade => p = (2*n)+1 mit n [mm] \in \IZ]
[/mm]
Jetzt ist es mir aber klar:
Angenommen p ungerade
=> Ex. n [mm] \in \IZ [/mm] : p = (2*n) + 1
=> [mm] p^2 [/mm] = [mm] 4n^2 [/mm] + 4n + 1 = [mm] 2*(2n^2 [/mm] + 2n) + 1, also ungerade
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 Di 03.03.2009 | | Autor: | weduwe |
> Wie es ab und zu vorkommt, fällt mir die Lösung ein, sowie
> ich die Frage gestellt habe.
>
> Widerspruchsbeweis hatte ich versucht, mir fiel aber -- bis
> eben gerade -- partout nicht ein, dass [p ungerade => p =
> (2*n)+1 mit n [mm]\in \IZ][/mm]
>
> Jetzt ist es mir aber klar:
> Angenommen p ungerade
> => Ex. n [mm]\in \IZ[/mm] : p = (2*n) + 1
> => [mm]p^2[/mm] = [mm]4n^2[/mm] + 4n + 1 = [mm]2*(2n^2[/mm] + 2n) + 1, also ungerade
damit beweist du allerdings (nur) , dass [mm] p^2 [/mm] ungerade, wenn p ungerade 
(dann beweise einfacher gleich, dass gilt p gerade [mm] \to p^2 [/mm] gerade)
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Hallo weduwe,
> > >
> > > damit beweist du allerdings (nur) , dass [mm]p^2[/mm] ungerade, wenn
> > > p ungerade
> >
> > Woraus natürlich sofort folgt [mm]p^2[/mm] gerade => p gerade
> >
> > MfG,
> > Gono.
>
> wieso?
>
Weil die Grundannahme war, dass [mm] $p^2$ [/mm] gerade ist
Nun kann p ja nur gerade oder ungerade sein, der Fall p ungerade führt genau zum Widerspruch [mm] $p^2$ [/mm] ungerade
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Di 03.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > >
> > > damit beweist du allerdings (nur) , dass [mm]p^2[/mm] ungerade, wenn
> > > p ungerade
> >
> > Woraus natürlich sofort folgt [mm]p^2[/mm] gerade => p gerade
> >
> > MfG,
> > Gono.
>
> wieso?
er hat schon bewiesen: [mm] $p^2$ [/mm] gerade [mm] $\Rightarrow$ $p\,$ [/mm] gerade (wobei hier sogar [mm] $\gdw$ [/mm] gelten würde).
Denn
$$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$$
ist äquivalent zu
[mm] $$(\neg [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\neg A)\,,$$
[/mm]
Stichwort: Kontraposition.
Oben ist die Aussage [mm] $A\,$: $p^2\,$ [/mm] gerade
und
Aussage [mm] $B\,$: $p\,$ [/mm] gerade.
Damit ist die Behauptung
[mm] $p^2$ [/mm] gerade [mm] $\Rightarrow$ $p\,$ [/mm] gerade
äquivalent zu
nicht [mm] ($p\,$ [/mm] gerade) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] nicht [mm] ($p^2$ [/mm] gerade),
was nichts anderes als die Folgerung
[mm] $\,p$ [/mm] ungerade [mm] $\Rightarrow$ $p^2$ [/mm] ungerade
ist, und das letztstehende hat er bewiesen und wegen der Kontraposition damit auch die ursprüngliche Behauptung.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Di 03.03.2009 | | Autor: | weduwe |
> Ich schäme mich, aber ich komme auf keinen Beweis für
> folgenden, sehr elementaren Sachverhalt:
>
> Wenn [mm]p^2[/mm] gerade, dann ist auch p gerade.
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
idee:
da [mm] p^2 [/mm] gerde, folgt [mm] p^2=2m
[/mm]
[mm] m=2u^2
[/mm]
[mm] p=\sqrt{4u^2}=2u \to [/mm] p gerade
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:38 Di 03.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Ich schäme mich, aber ich komme auf keinen Beweis für
> > folgenden, sehr elementaren Sachverhalt:
> >
> > Wenn [mm]p^2[/mm] gerade, dann ist auch p gerade.
> >
> >
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
>
> idee:
>
> da [mm]p^2[/mm] gerde, folgt [mm]p^2=2m[/mm]
> [mm]m=2u^2[/mm]
>
> [mm]p=\sqrt{4u^2}=2u \to[/mm] p gerade
ich sehe in Deinem "Beweis" keine Begründung für [mm] $m=2u^2\,.$ [/mm] Wenn [mm] $p^2$ [/mm] gerade ist, dann ist [mm] $p=2m\,$ [/mm] mit einem $m [mm] \in \IZ\,.$ [/mm] Dass dann [mm] $m=2u^2$ [/mm] mit einem $u [mm] \in \IZ$ [/mm] gilt, ist zwar richtig, aber die Begründung würde sicher 'normalerweise' eben so stattfinden, dass man dafür benutzt:
[mm] $p^2$ [/mm] gerade genau dann, wenn [mm] $p\,$ [/mm] gerade.
Dein Beweis oben ist so jedenfalls kein Beweis der Behauptung, jedenfalls nicht, ohne eine Ergänzung, die die Gleichung [mm] $m=2u^2$ [/mm] mit einem $u [mm] \in \IZ$ [/mm] begründet.
Im Prinzip machst Du oben nichts anderes als:
Okay, wenn [mm] $p^2$ [/mm] gerade ist, und ich $p=2u$ schreibe, dann ist [mm] $p^2=4u^2$ [/mm] gerade, passt also.
Das könnte man bestenfalls als Beweis der Folgerung
[mm] $\,p$ [/mm] gerade [mm] $\Rightarrow$ $p^2$ [/mm] gerade
ansehen, also als Beweis der umgekehrten Richtung von der Behauptung
[mm] $p^2$ [/mm] gerade [mm] $\Rightarrow$ $p\,$ [/mm] gerade.
Im allgemeinen ist aber
$$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$$
nicht äquivalent zu
$$B [mm] \Rightarrow A\,,$$
[/mm]
Du hast also bzgl. der behaupteten Folgerung
[mm] $p^2$ [/mm] gerade [mm] $\Rightarrow$ $p\,$ [/mm] gerade
gar nichts gezeigt.
Übrigens hat Dein "Beweis" auch an einer anderen Stelle eine (allerdings hier nicht besonders in Gewicht fallende) Schwachstelle:
Aus [mm] $p^2=4u^2$ [/mm] folgt nicht [mm] $p=\sqrt{4u^2}=2u\,.$ [/mm] Es gilt vielmehr
[mm] $$p^2=4u^2 \Rightarrow (p=2|u|\;\text{ oder }\;p=-2|u|)\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo chorizo,
das ist direkt - also ohne Widerspruchbeweis, den Du ja richtig geführt hast - nur mit dem ![[]](/images/popup.gif) Fundamentalsatz der Arithmetik zu zeigen.
Wenn [mm] p^2=2m, [/mm] dann muss der Primfaktor 2 auf der rechten Seite in einem der beiden Faktoren der linken Seite (also in p oder in p) enthalten sein, also p=2n.
Der Satz ist zwar erst von Gauß korrekt bewiesen, wird aber - eben für eine Folgerung von Quadraten und dem Primfaktor 2 - bereits von Euklid in seinem berühmten Beweis der Irrationalität von $ \blue{\wurzel{2}} $ vorausgesetzt und richtig angewandt.
Grüße
reverend
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