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| Aufgabe | Hallo, wie kann ich
[mm] $u(\frac{R^2}{\lVert x\rVert^2}x)$
[/mm]
partiell nach [mm] $x_1$ [/mm] ableiten?
Wobei hier $R>0$, [mm] $x=(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\setminus \overline{B}_R(0)=:\Omega, u\colon\Omega\to\mathbb{R}$. [/mm] |
Sicherlich irgendwie die Kettenregel? Aber wie genau?
Ich substituiere [mm] $w:=\frac{R^2}{\lVert x\rVert^2} [/mm] x$, dann muss ich doch ausrechnen
[mm] $\frac{\partial u}{\partial w}\cdot\frac{\partial w}{\partial x_1}$.
[/mm]
Aber ich weiß nicht, wie ich diese beiden Ausdrücke ausrechnen kann.
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Hallo sick_of_math,
> Hallo, wie kann ich
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> [mm]u(\frac{R^2}{\lVert x\rVert^2}x)[/mm]
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> partiell nach [mm]x_1[/mm] ableiten?
>
>
> Wobei hier [mm]R>0[/mm], [mm]x=(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\setminus \overline{B}_R(0)=:\Omega, u\colon\Omega\to\mathbb{R}[/mm].
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> Sicherlich irgendwie die Kettenregel? Aber wie genau?
>
> Ich substituiere [mm]w:=\frac{R^2}{\lVert x\rVert^2} x[/mm], dann
> muss ich doch ausrechnen
>
> [mm]\frac{\partial u}{\partial w}\cdot\frac{\partial w}{\partial x_1}[/mm].
>
> Aber ich weiß nicht, wie ich diese beiden Ausdrücke
> ausrechnen kann.
Den ersten Ausdruck kannst Du nicht ausrechnen,
da [mm]u\left(w\right)[/mm] nicht bekannt ist.
w lautet doch ausgeschrieben:
[mm]\bruch{R^{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}*\left(x_{1},x_{2}\right)[/mm]
Darauf kannst Du nun die Qoutientenregel loslassen.
Gruss
MathePower
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Quotientenregel?
Dann habe ich da stehen:
[mm] $\frac{\frac{\partial}{\partial x_1}(R^2(x_1,x_2))\cdot (x_1^2+x_2^2)-R^2(x_1,x_2)\cdot\frac{\partial}{\partial x_1}(x_1^2+x_2^2)}{(x_1^2+x_2^2)^2}$
[/mm]
Mir ist nicht klar, was
[mm] $\frac{\partial}{\partial x_1}(R^2(x_1,x_2))$
[/mm]
ist.
Ist das [mm] $R^2(1,0)$?
[/mm]
Edit: Ich habe als Ableitung nach [mm] $x_1$ [/mm] dann
[mm] $\frac{R^2\cdot (-x_1^2+x_2^2,-2x_1x_2)}{(x_1^2+x_2^2)^2}$.
[/mm]
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Hallo sick_of_math,
> Quotientenregel?
>
> Dann habe ich da stehen:
>
> [mm]\frac{\frac{\partial}{\partial x_1}(R^2(x_1,x_2))\cdot (x_1^2+x_2^2)-R^2(x_1,x_2)\cdot\frac{\partial}{\partial x_1}(x_1^2+x_2^2)}{(x_1^2+x_2^2)^2}[/mm]
>
> Mir ist nicht klar, was
>
> [mm]\frac{\partial}{\partial x_1}(R^2(x_1,x_2))[/mm]
>
> ist.
>
> Ist das [mm]R^2(1,0)[/mm]?
>
>
> Edit: Ich habe als Ableitung nach [mm]x_1[/mm] dann
>
> [mm]\frac{R^2\cdot (-x_1^2+x_2^2,-2x_1x_2)}{(x_1^2+x_2^2)^2}[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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Und wenn man das jetzt nochmal nach [mm] $x_1$ [/mm] ableitet: dann muss ich ja die Produktregel anwenden.
Was ist dann
[mm] $\frac{\partial}{\partial x_1}\frac{\partial u}{\partial w}$?
[/mm]
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Hallo sick_of_math,
> Und wenn man das jetzt nochmal nach [mm]x_1[/mm] ableitet: dann muss
> ich ja die Produktregel anwenden.
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> Was ist dann
>
> [mm]\frac{\partial}{\partial x_1}\frac{\partial u}{\partial w}[/mm]?
Das ist dann:
[mm]\frac{\partial^{2} u}{\partial w^ {2}}\frac{\partial w}{\partial x_{1}}[/mm]
[mm]\frac{\partial u}{\partial w}[/mm] ist ja wiederum eine Funktion von w.
Und w ist [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] abhängig.
Dann machst Du im Prinzip folgendes:
[mm]\bruch{\partial u_{w}\left(w\left(x_{1},x_{2}\right)\right)}{\partial x_{1}}[/mm]
Gruss
MathePower
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Ich soll nämlich zeigen, dass
[mm] $v(x):=u(\frac{R^2}{\lVert x\rVert^2}x)$
[/mm]
harmonisch ist, wenn u harmonisch ist.
Ich finde die Rechnungen aber SEHR umständlich!
Kann man mit irgendwelchen Tricks einfacher zeigen, dass
[mm] $\Delta [/mm] v(x)=0$?
Im Netz habe ich gefunden, dass man benutzen kann:
[mm] $\frac{\partial r}{\partial x_i}=\frac{x_i}{r}$
[/mm]
und
[mm] $\frac{\partial^2 r}{\partial x_i\partial x_k}=\frac{1}{r}(\delta_{ik}-\frac{x_ix_k}{r^2})$
[/mm]
für [mm] $r=\lVert x\rVert$.
[/mm]
Damit soll es recht schnell gehen, aber ich sehe nicht, wie.
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Hallo sick_of_math,
> Ich soll nämlich zeigen, dass
>
> [mm]v(x):=u(\frac{R^2}{\lVert x\rVert^2}x)[/mm]
>
> harmonisch ist, wenn u harmonisch ist.
>
> Ich finde die Rechnungen aber SEHR umständlich!
>
> Kann man mit irgendwelchen Tricks einfacher zeigen, dass
>
> [mm]\Delta v(x)=0[/mm]?
>
> Im Netz habe ich gefunden, dass man benutzen kann:
>
> [mm]\frac{\partial r}{\partial x_i}=\frac{x_i}{r}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\frac{\partial^2 r}{\partial x_i\partial x_k}=\frac{1}{r}(\delta_{ik}-\frac{x_ix_k}{r^2})[/mm]
>
> für [mm]r=\lVert x\rVert[/mm].
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> Damit soll es recht schnell gehen, aber ich sehe nicht,
> wie.
>
Im Moment weiss ich das auch nicht.
Gruss
MathePower
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