part. ableitung Lagrange funk. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:18 So 08.12.2013 | | Autor: | apajat |
| Aufgabe | Ich habe eine folgende funktion [mm] f(x,y)=x^3+6xy+y^3 [/mm] mit der Nebenbedinungen: x=y => x-y=0
die aufgabenstellung ist: bestimmen sie alle möglichen extrema der funktion |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Ich habe die partiellen ableitung nach x,y und [mm] \lambda [/mm] gebildet und habe folgende erste ableitungen bekommen
[mm] Lx(x,y,\lambda)=3x^2+6y+\lambda
[/mm]
[mm] Ly(x,y,\lambda)=3y^2+6x-\lambda
[/mm]
[mm] L\lambda(x,y,\lambda)= [/mm] x-y
der nächste schritt wäre jetzt die 3 variablen auszurechnen
aber genau da ist bei mir der punkt wo ich nicht mehr weiterkomme
die lösung soll lauten x1=-2, y1=-2, [mm] \lambda1=0
[/mm]
[mm] x2=0,y2=0,\lambda2= [/mm] 0
mein vorgehen war: ich habe die 1 partielle ableitung nach x und nach y umgeformt und für [mm] x=\wurzel(-2y-\lambda/3)
[/mm]
und für [mm] y=\wurzel{\lambda/3-2x} [/mm] raus und wenn ich diese werte in die 3 gleichung eingesetzt habe kam für [mm] \lambda [/mm] wieder ein wert mit den variablen x und y raus
kann mir jmd einen tipp geben was ich falsche gemacht habe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 So 08.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> Ich habe eine folgende funktion [mm]f(x,y)=x^3+6xy+y^3[/mm] mit der
> Nebenbedinungen: x=y => x-y=0
Setze $g(x,y):=x-y$
>
> die aufgabenstellung ist: bestimmen sie alle möglichen
> extrema der funktion
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
>
> Ich habe die partiellen ableitung nach x,y und [mm]\lambda[/mm]
> gebildet und habe folgende erste ableitungen bekommen
>
> [mm]Lx(x,y,\lambda)=3^2+6y+\lambda[/mm]
> [mm]Ly(x,y,\lambda)=3y^2+6x-\lambda[/mm]
> [mm]L\lambda(x,y,\lambda)=[/mm] x-y
[mm] L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)=x^3+6xy+y^3+\lambda(x-y)
[/mm]
Jetzt nochmal!
>
> der nächste schritt wäre jetzt die 3 variablen
> auszurechnen
> aber genau da ist bei mir der punkt wo ich nicht mehr
> weiterkomme
> die lösung soll lauten x1=-2, y1=-2, [mm]\lambda1=0[/mm]
> [mm]x2=0,y2=0,\lambda2=[/mm] 0
>
> mein vorgehen war: ich habe die 1 partielle ableitung nach
> x und nach y umgeformt und für [mm]x=\wurzel(-2y-\lambda/3)[/mm]
> und für [mm]y=\wurzel{\lambda/3-2x}[/mm] raus und wenn ich diese
> werte in die 3 gleichung eingesetzt habe kam für [mm]\lambda[/mm]
> wieder ein wert mit den variablen x und y raus
>
> kann mir jmd einen tipp geben was ich falsche gemacht habe
>
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 So 08.12.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Acht,
> > Ich habe eine folgende funktion [mm]f(x,y)=x^3+6xy+y^3[/mm] mit der
> > Nebenbedinungen: x=y => x-y=0
>
> Setze [mm]g(x,y):=x-y[/mm]
>
> >
> > die aufgabenstellung ist: bestimmen sie alle möglichen
> > extrema der funktion
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt
> >
> >
> > Ich habe die partiellen ableitung nach x,y und [mm]\lambda[/mm]
> > gebildet und habe folgende erste ableitungen bekommen
> >
> > [mm]Lx(x,y,\lambda)=3^2+6y+\lambda[/mm]
> > [mm]Ly(x,y,\lambda)=3y^2+6x-\lambda[/mm]
> > [mm]L\lambda(x,y,\lambda)=[/mm] x-y
>
> [mm]L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)=x^3+6xy+y^3+\lambda(x-y)[/mm]
>
> Jetzt nochmal!
Ich wüsste eigentlich nicht warum.
Die Frage ist doch eher, wie es jetzt weitergeht.
>
> >
> > der nächste schritt wäre jetzt die 3 variablen
> > auszurechnen
> > aber genau da ist bei mir der punkt wo ich nicht mehr
> > weiterkomme
> > die lösung soll lauten x1=-2, y1=-2, [mm]\lambda1=0[/mm]
> > [mm]x2=0,y2=0,\lambda2=[/mm] 0
> >
> > mein vorgehen war: ich habe die 1 partielle ableitung nach
> > x und nach y umgeformt und für [mm]x=\wurzel(-2y-\lambda/3)[/mm]
> > und für [mm]y=\wurzel{\lambda/3-2x}[/mm] raus und wenn ich
> diese
> > werte in die 3 gleichung eingesetzt habe kam für [mm]\lambda[/mm]
> > wieder ein wert mit den variablen x und y raus
> >
> > kann mir jmd einen tipp geben was ich falsche gemacht habe
> >
>
> DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 So 08.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> Hallo Acht,
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> > > Ich habe eine folgende funktion [mm]f(x,y)=x^3+6xy+y^3[/mm] mit der
> > > Nebenbedinungen: x=y => x-y=0
> >
> > Setze [mm]g(x,y):=x-y[/mm]
> >
> > >
> > > die aufgabenstellung ist: bestimmen sie alle möglichen
> > > extrema der funktion
> > >
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt
> > >
> > >
> > > Ich habe die partiellen ableitung nach x,y und [mm]\lambda[/mm]
> > > gebildet und habe folgende erste ableitungen bekommen
> > >
> > > [mm]Lx(x,y,\lambda)=3^2+6y+\lambda[/mm]
Das stimmt noch immer nicht.
> > > [mm]Ly(x,y,\lambda)=3y^2+6x-\lambda[/mm]
Okay, das hat er noch korrigiert vorher.
> > > [mm]L\lambda(x,y,\lambda)=[/mm] x-y
> >
> > [mm]L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)=x^3+6xy+y^3+\lambda(x-y)[/mm]
>
> >
> > Jetzt nochmal!
> Ich wüsste eigentlich nicht warum.
>
> Die Frage ist doch eher, wie es jetzt weitergeht.
> >
> > >
> > > der nächste schritt wäre jetzt die 3 variablen
> > > auszurechnen
> > > aber genau da ist bei mir der punkt wo ich nicht
> mehr
> > > weiterkomme
> > > die lösung soll lauten x1=-2, y1=-2, [mm]\lambda1=0[/mm]
> > > [mm]x2=0,y2=0,\lambda2=[/mm] 0
> > >
> > > mein vorgehen war: ich habe die 1 partielle ableitung nach
> > > x und nach y umgeformt und für [mm]x=\wurzel(-2y-\lambda/3)[/mm]
> > > und für [mm]y=\wurzel{\lambda/3-2x}[/mm] raus und wenn ich
> > diese
> > > werte in die 3 gleichung eingesetzt habe kam für [mm]\lambda[/mm]
> > > wieder ein wert mit den variablen x und y raus
> > >
> > > kann mir jmd einen tipp geben was ich falsche gemacht habe
> > >
> >
> > DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 So 08.12.2013 | | Autor: | apajat |
kann mir bitte jmd helfen, den weg zu der lösung zu verstehen
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Hallo,
Die Ableitungen hast du ja richtig, daher müssen wir nur noch einmal die drei Gleichungen auswerten. Lösen müssen wir das Gleichungssystem:
[mm] 0=3x^2+6y+\lambda
[/mm]
[mm] 0=3y^2+6x-\lambda
[/mm]
$ 0=x-y $
Aus der letzten Gleichung gilt x=y und somit können wir die ersten beiden GLeichungen wie folgt umschreiben:
[mm] 0=3x^2+6y+\lambda
[/mm]
[mm] 0=3x^2+6y-\lambda
[/mm]
Wir bilden die Differenz und erhalten
[mm] 0=2\lambda \Rightarrow \lambda=0
[/mm]
Super, damit haben wir das schon einmal. Die Ausgangsgleichungen gehen also über in
[mm] 0=3x^2+6y
[/mm]
[mm] 0=3y^2+6x
[/mm]
$0=x-y$
Wir nutzen nun noch einmal $x=y$ und schreiben nun die erste Gleichung wie folgt:
[mm] 0=3x^2+6x=3x(x+2)
[/mm]
Hier sind die Lösungen natürlich [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=-2
[/mm]
Wegen x=y folgt damit aber:
[mm] y_1=0 [/mm] und [mm] y_2=-2
[/mm]
Fassen wir die Lösungen [mm] (x,y,\lambda) [/mm] also noch einmal zusammen, so erhalten wir die beiden Lösungen:
(0,0,0) und
(-2,-2,0)
Schönen Abend wünsch ich dir noch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 So 08.12.2013 | | Autor: | apajat |
viel dank !
eine paar fragen habe ich noch
kann die aufgabe ohne ausnutzen der nB y=x nicht gelöst werden ?
sprich ist der lösungsweg mit dem einsetzverfahren bei aufgaben bei den in der ersten partiellen ableitung, immernoch 3 variablen pro gleichung sind, der falsche oder habe ich falsch umgeformt ?
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Hallo noch einmal,
du willst ja Extrama einer Funktion mit Nebenbedingung bestimmen. Du wirst also immer in irgendeiner Art und Weise die Nebenbedingung mit einbringen müssen. Anders wird es nicht klappen.
Zudem hast du ja drei Gleichungen mit 3 Unbekannten. Damit kannst du eindeutige Lösungen bestimmen. Andernfalls kannst du ja gar keine LÖsungen finden.
Ich verstehe nicht exakt deine Frage, ich hoffe ich habe dir jedoch intuitiv ein bisschen geholfen. Bitte noch einmal konkret nachfragen, falls etwas unklar ist. 
Gute Nacht!
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