partiell diff ' bar / Beispiel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:34 Sa 02.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Morgen alle zusammen!
Ich habe zwei Fragen! Als erstes zu einer Art Definition und zweitens zu einem Beispiel.
1. Ich bin in meinem Skript auf eine Bemerkung gestoßen und kann die Bedeutung dieser nicht wirklich einordnen. Ist es einfach ein andere Version der Definition der partiellen Diff ' barkeit oder steckt da was anderes, bedeutungsvolleres dahinter? Wo liegt der Sinn dieses F ? Dass es vielleicht beliebig nahe an die [mm] x_j [/mm] kommen kann, bei guter Wahl von t ?
Bemerkung :
Sei U offen in [mm] \mathbb R^n [/mm] und [mm] f: U \to \mathbb R [/mm] eine Funktion . Sei [mm] x= ( x_1, ..., x_n ) [/mm].
Für j = 1 , ... , n und reelle Zahlen t, die nahe bei [mm] x_j [/mm] liegen, sei
[mm] F_j(t) := f ( x_1, ... , x_{j-1}, t , x_{j+1}, ..., x_n ) [/mm].
Wenn [mm] F_j [/mm] an der Stelle [mm] x_j [/mm] differenzierbar ist, so schreiben wir
[mm] D_j f(x) := F_j ' (x) [/mm]
Wenn für jedes [mm] x \in U [/mm] alle partiellen Ableitungen [mm] D_j f(x) [/mm] existieren, so heißt f partiell diff ' bar und man hat
[mm] D_j f = \bruch{\partial f }{ \partial x_j } : U \to \mathbb R [/mm]
2. Hier habe ich ein Beispiel, bei dem einen Schritt nicht 100% vestehe.
Bespiel :
Definiere [mm] f(x,y): \mathbb R^2 \to \mathbb R [/mm] durch
[mm] f(x,y)=\left\{\begin{matrix}
\bruch{xy}{x^2 + y^2}, & \mbox{für } (x,y) \ne (0,0) \\
0, & \mbox{für } (x,y) = (0,0)
\end{matrix}\right.
[/mm].
An jeder Stelle [mm] (x,y) \ne (0,0) [/mm] ist f offensichtlich partiell diff ' bar, Aber f ist auch an der Stelle [mm] (0,0) [/mm] partiell diff ' bar, denn:
[mm]f_1( \xi ) = f( \xi, 0 ) = 0 \ \forall \xi \in \mathbb R \ \Rightarrow \bruch{\partial f }{ \partial x } (0,0) = 0 \\
f_2( \xi ) = f( 0, \xi ) = 0 \ \forall \xi \in \mathbb R \ \Rightarrow \bruch{\partial f }{ \partial x } (0,0) = 0
[/mm]
( Ab hier verstehe ich das nicht mehr)
Auf der Geraden mit der Gleichung [mm] y = \alpha x [/mm] ist
[mm] f(x,y) = f(x, \alpha x ) = \bruch{ \alpha x^2 }{ x^2 + \alpha^2 x^2 } = \bruch{ \alpha }{ 1 + \alpha^2 } \ \forall \ x \ne 0 [/mm]
Insbesondere ist für [mm] x \ne 0 [/mm] :
[mm] f(x,x ) = \bruch{1}{2} [/mm].
Deswegen ist f in (0,0 ) nichf stetig!
Obwohl ich den letzten Teil nicht nachvollziehen kann, sehe ich das richtig, dass wenn nur die Voraussetzung der partiellen Diff ' barkeit da ist , die Funktion nicht in jedem Punkt stetig sein muss?
Vielen Dank im voraus!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Sa 02.08.2008 | | Autor: | Framl |
> Guten Morgen alle zusammen!
>
> Ich habe zwei Fragen! Als erstes zu einer Art Definition
> und zweitens zu einem Beispiel.
>
> 1. Ich bin in meinem Skript auf eine Bemerkung gestoßen und
> kann die Bedeutung dieser nicht wirklich einordnen. Ist es
> einfach ein andere Version der Definition der partiellen
> Diff ' barkeit oder steckt da was anderes,
> bedeutungsvolleres dahinter? Wo liegt der Sinn dieses F ?
> Dass es vielleicht beliebig nahe an die [mm]x_j[/mm] kommen kann,
> bei guter Wahl von t ?
>
> Bemerkung :
>
> Sei U offen in [mm]\mathbb R^n[/mm] und [mm]f: U \to \mathbb R[/mm] eine
> Funktion . Sei [mm]x= ( x_1, ..., x_n ) [/mm].
> Für j = 1 , ... , n
> und reelle Zahlen t, die nahe bei [mm]x_j[/mm] liegen, sei
> [mm]F_j(t) := f ( x_1, ... , x_{j-1}, t , x_{j+1}, ..., x_n ) [/mm].
>
> Wenn [mm]F_j[/mm] an der Stelle [mm]x_j [/mm] differenzierbar ist, so
> schreiben wir
>
> [mm]D_j f(x) := F_j ' (x)[/mm]
>
> Wenn für jedes [mm]x \in U[/mm] alle partiellen Ableitungen [mm]D_j f(x)[/mm]
> existieren, so heißt f partiell diff ' bar und man hat
> [mm]D_j f = \bruch{\partial f }{ \partial x_j } : U \to \mathbb R[/mm]
>
Wie habt ihr partielle Diffbarkeit denn definiert wenn nicht so? 
>
> 2. Hier habe ich ein Beispiel, bei dem einen Schritt nicht
> 100% vestehe.
>
> Bespiel :
>
> Definiere [mm]f(x,y): \mathbb R^2 \to \mathbb R[/mm] durch
>
> [mm]f(x,y)=\left\{\begin{matrix}
\bruch{xy}{x^2 + y^2}, & \mbox{für } (x,y) \ne (0,0) \\
0, & \mbox{für } (x,y) = (0,0)
\end{matrix}\right.
[/mm].
>
> An jeder Stelle [mm](x,y) \ne (0,0)[/mm] ist f offensichtlich
> partiell diff ' bar, Aber f ist auch an der Stelle [mm](0,0)[/mm]
> partiell diff ' bar, denn:
>
> [mm]f_1( \xi ) = f( \xi, 0 ) = 0 \ \forall \xi \in \mathbb R \ \Rightarrow \bruch{\partial f }{ \partial x } (0,0) = 0 \\
f_2( \xi ) = f( 0, \xi ) = 0 \ \forall \xi \in \mathbb R \ \Rightarrow \bruch{\partial f }{ \partial x } (0,0) = 0
[/mm]
Bis hierhin benuzt man ja die Definition von oben und rechnet einfach nach.
>
> ( Ab hier verstehe ich das nicht mehr)
>
> Auf der Geraden mit der Gleichung [mm]y = \alpha x[/mm] ist
> [mm]f(x,y) = f(x, \alpha x ) = \bruch{ \alpha x^2 }{ x^2 + \alpha^2 x^2 } = \bruch{ \alpha }{ 1 + \alpha^2 } \ \forall \ x \ne 0[/mm]
>
> Insbesondere ist für [mm]x \ne 0[/mm] :
> [mm]f(x,x ) = \bruch{1}{2} [/mm].
> Deswegen ist f in (0,0 ) nichf
> stetig!
>
Man zeigt, dass $f$ an der Stelle [mm] $(x,x),\:x\in\mathbb{R}$ [/mm] den Wert [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] hat. Man setzt [mm] $\alpha=1$ [/mm] und dann stehts schon da. Du kannst auch die Folge $(1/n,1/n)$ betrachten. Die strebt für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen $(0,0)$, aber [mm] $f(1/n,1/n)\to \frac{1}{2}$. [/mm] Das ist i.P. dasselbe. Damit ist $f$ nicht stetig, also die Funktion die von zwei Parametern abhängt.
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> Obwohl ich den letzten Teil nicht nachvollziehen kann, sehe
> ich das richtig, dass wenn nur die Voraussetzung der
> partiellen Diff ' barkeit da ist , die Funktion nicht in
> jedem Punkt stetig sein muss?
>
Richtig - die partiellen Funktionen [mm] $f_1$ [/mm] und [mm] $f_2$ [/mm] müssen natürlich stetig sein wenn sie diffbar sind. Da ist aber bei [mm] $f_1$ [/mm] $y$ fest und bei [mm] $f_2$ [/mm] ist $x$ fest. Dann kann es eben passieren, wenn du $f$ betrachtest und sowohl $x$ als auch $y$ Paraemter sind die Funktion nicht stetig ist.
Gruß Framl
> Vielen Dank im voraus!
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> Viele Grüße
> Irmchen
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