partiell diffbar, nicht total < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Fr 02.07.2010 | | Autor: | notinX |
| Aufgabe | Sei [mm] $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ [/mm] mit
[mm] $f(x,y)=\begin{cases}
\frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}} & (x,y)\neq(0,0)\\
0 & (x,y)=(0,0)\end{cases}$
[/mm]
zeigen Sie, dass f bei (0,0) partiell differenzierbar ist, f aber nicht total differenzierbar ist. |
Hallo,
ich zeige zuerst, dass f im Nullpunkt partiell diffbar ist:
[mm] $\lim\limits_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim\limits _{h\to0}\frac{\frac{0}{h^{4}}-0}{h}=0$
[/mm]
und
[mm] $\lim\limits _{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\lim\limits _{h\to0}\frac{\frac{0}{h^{2}}-0}{h}=0$
[/mm]
Die partiellen Ableitungen [mm] $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ [/mm] und [mm] $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ [/mm] existieren also und sind auch noch gleich, also ist f im Nullpunkt partiell differenzierbar.
(Wenn die Limites verschiedene Werte hätten, wäre f aber trotzdem part. diffbar, oder?)
Wenn ich mich nicht täusche folgt aus totaler Diffbarkeit die Stetigkeit, also müsste es genügen zu zeigen, dass f im Ursprung nicht stetig ist um zu zeigen, dass f nicht total diffbar ist.
Dazu wähle ich eine Folge mit [mm] $a_n=(1/n,1/n^2)$, [/mm] also [mm] $a_n\to0$
[/mm]
Damit gilt:
[mm] $\lim\limits_{n\to\infty}f(a_{n})=\frac{\frac{1}{n^{2}}\cdot\frac{1}{n^{2}}}{\frac{1}{n^{4}}+\frac{1}{n^{4}}}=\frac{\frac{1}{n^{4}}}{\frac{2}{n^{4}}}=\frac{1}{2}\neq0$
[/mm]
also ist f nicht stetig bei (0,0) und somit auch nicht total diffbar.
Kann man das so machen?
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Huhu,
alles prima begründet ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Eine Kleinigkeit: Du solltest vllt. noch erwähnen, warum die partiellen Ableitungen generell existieren, also für $(x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0)$.
Das hast du mit keiner Silbe erwähnt, solltest du der Vollständigkeit halber aber tun.
Um deine Frage zu beantworten:
> (Wenn die Limites verschiedene Werte hätten, wäre f aber trotzdem part. diffbar, oder?)
Klar, dann würde die partielle Ableitung nach x nur andere Werte haben als die nach y. Hat sie hier im Allgemeinen auch, nur im Nullpunkt sind sie halt gerade zufällig identisch.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Fr 02.07.2010 | | Autor: | notinX |
> Eine Kleinigkeit: Du solltest vllt. noch erwähnen, warum
> die partiellen Ableitungen generell existieren, also für
> [mm](x,y) \not= (0,0)[/mm].
> Das hast du mit keiner Silbe erwähnt,
> solltest du der Vollständigkeit halber aber tun.
Ok, als Komposition partiell diffbarer Funktionen ist auch f partiell diffbar.
Aber ist das denn nötig? Es war doch nur gefragt wie es im Nullpuknt aussieht, das habe ich gezeigt und was außenrum passiert war ja nicht gefragt, oder?
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Ah stimmt, da stand ja gar nix von "zeigen dass f partiell diffbar", sondern nur in (0,0).
Ok, dann vergiß meinen Einwand 
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:05 Fr 02.07.2010 | | Autor: | notinX |
Ok 
Vielen Dank fürs Drüberkuken.
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