partiell differenzierbarbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:18 Do 30.11.2006 | | Autor: | gosch |
| Aufgabe | Es seien [m]g,h : \IR^2 \to \IR[/m] gegeben durch
[m]g(x,y) :=\begin{cases} 1, &\mbox{für } xy = 0 \\ 0, & \mbox{für } xy \not=0 \end{cases}[/m]
und
[m]h(x,y) := \begin{cases} 1, &\mbox{für } y =x^2\not= 0 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/m]
Zeige: [m]g[/m] ist im Nullpunkt partiell differenzierbar, im Nullpunkt jedoch nicht stetig
[m]h[/m] ist im Nullpunkt unstetig, besitzt dort jedoch Richtungsableitungen in jede Richtung.
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Hallo,
Unstetigkeit habe ich folgendenmaßen bewiesen:
zu [m]g[/m]
Wähle Nullfolge [m](\bruch{1}{n},\bruch{1}{n})_{n \in \IN}[/m], dann [m]\limes_{n\rightarrow\infty} f(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}) = \limes_{n\rightarrow\infty} 0 = 0 \not= f(\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n})) = f(0,0) = 1[/m]
zu [mm]h[/mm]
Wähle Nullfolge [m](\bruch{1}{n},\bruch{1}{n^2})_{n \in \IN}[/m], dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n^2}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 1 = 1 [mm] \not= f(\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n^2})) [/mm] = f(0,0) = 0 [/m]
Ist das richtig?
Wie zeigt man, dass [m]g[/m] partiell diff.bar im [m](0,0)[/m] und [m]h[/m] besitzt im [m](0,0)[/m] Richtungsableitungen in jede Richtung?
Danke im Voraus für die Ideeen.
LG
gosch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Do 30.11.2006 | | Autor: | SEcki |
> Wie zeigt man, dass [m]g[/m] partiell diff.bar im [m](0,0)[/m] und [m]h[/m]
> besitzt im [m](0,0)[/m] Richtungsableitungen in jede Richtung?
Die Definiton (mit Limes) einfach mal einsetzen und ausrechnen - das ist hier wirklich ganz einfach.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Do 30.11.2006 | | Autor: | gosch |
zu [m]h[/m]
Die Richtungsableitung von [m]h[/m] an der Stelle [m](0,0)[/m] in Richtung [m](v_1,v_2)[/m] ist defieniert als: [mm] \limes_{t\to{0}}\bruch{f((0,0)+t(v_1,v_2))-f(0,0)}{t}=\limes_{t\to{0}} \bruch{1}{t}=0, [/mm] oder? Reicht es?
zu [m]g[/m] weiß ich nicht
gosch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Fr 01.12.2006 | | Autor: | SEcki |
> zu [m]h[/m]
> Die Richtungsableitung von [m]h[/m] an der Stelle [m](0,0)[/m] in
> Richtung [m](v_1,v_2)[/m] ist defieniert als:
> [mm]\limes_{t\to{0}}\bruch{f((0,0)+t(v_1,v_2))-f(0,0)}{t}=\limes_{t\to{0}} \bruch{1}{t}=0,[/mm]
> oder?
Eher ist die linke seite gleich 0 ...
> zu [m]g[/m] weiß ich nicht
Was weißt du nicht? Definition einsetzen? Wo ist das Problem? Partielle Ableitungen sind Richtungsableitungen in Richtung der Standardbasis ...
SEcki
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