partielle Ableitung < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Do 08.10.2009 | | Autor: | marc1001 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion z=f(x,y)= [mm] \bruch{2}{x+2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{y-1}+2x-y
[/mm]
Bestimme alle lokalen Extrempunkte. |
Ok , ich weis das ist sicher ziemlich einfach aber wie so oft stehe ich auf dem Schlauch.
Zuerst die Ableitung
[mm] z_x= 2-\bruch{2}{(x+2)^2} [/mm] -> für [mm] x_1=-1 [/mm] und [mm] x_2=-3 [/mm] ist [mm] z_x=0
[/mm]
[mm] z_y=\bruch{1}{(y-1)^2}-1 [/mm] -> für [mm] y_1= [/mm] 2 und [mm] y_2=0 [/mm] ist [mm] z_y=0
[/mm]
[mm] z_x_x= \bruch{4}{(x+2)^3}
[/mm]
[mm] z_y_y=\bruch{2}{(y-1)^3}
[/mm]
Geh ich hier einfach mit den Mitteln der Kurvendiskussion ran und setzte [mm] x_1, x_2 [/mm] bzw. [mm] y_1, y_2 [/mm] ind die 2.Ableitung ein oder gibt es durch die partielle ABl. eine andere herangehensweise?
Ich kann mir vorstellen das unglaublich einfach ist aber wie gesagt ich steh auf dem Schlauch
|
|
| |
|
Hallo marc1001,
> Gegeben sei die Funktion z=f(x,y)= [mm]\bruch{2}{x+2}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{y-1}+2x-y[/mm]
> Bestimme alle lokalen Extrempunkte.
> Ok , ich weis das ist sicher ziemlich einfach aber wie so
> oft stehe ich auf dem Schlauch.
>
> Zuerst die Ableitung
>
> [mm]z_x= 2-\bruch{2}{(x+2)^2}[/mm] -> für [mm]x_1=-1[/mm] und [mm]x_2=-3[/mm] ist
> [mm]z_x=0[/mm]
> [mm]z_y=\bruch{1}{(y-1)^2}-1[/mm] -> für [mm]y_1=[/mm] 2 und [mm]y_2=0[/mm] ist
> [mm]z_y=0[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]z_x_x= \bruch{4}{(x+2)^3}[/mm]
> [mm]z_y_y=\bruch{2}{(y-1)^3}[/mm]
>
Die 2. partielle Ableitung muß doch lauten:
[mm]z_y_y=\red{-}\bruch{2}{(y-1)^3}[/mm]
Außerdem fehlt die gemischte Ableitung [mm]z_{xy}[/mm].
>
>
> Geh ich hier einfach mit den Mitteln der Kurvendiskussion
> ran und setzte [mm]x_1, x_2[/mm] bzw. [mm]y_1, y_2[/mm] ind die 2.Ableitung
> ein oder gibt es durch die partielle ABl. eine andere
> herangehensweise?
Jetzt hast Du insgesamt 4 Kandidaten für mögliche Extrema.
Diese sind mit Hilfe der ![[]](/images/popup.gif) Hesse-Matrix zu untersuchen:
[mm]H_{f}\left(x_{i},y_{j}\right)=\pmat{z_{xx}\left(x_{i},y_{j}\right) & z_{xy}\left(x_{i},y_{j}\right) \\ z_{xy}\left(x_{i},y_{j}\right) & z_{yy}\left(x_{i},y_{j}\right)}, \ 1 \le i,j \le 2[/mm]
>
> Ich kann mir vorstellen das unglaublich einfach ist aber
> wie gesagt ich steh auf dem Schlauch
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Do 08.10.2009 | | Autor: | marc1001 |
Ok
[mm] z_x_y [/mm] = 0
[mm] z_y_x [/mm] = 0
also würde die Matrix dann so aussehen
[mm] H_{f}\left(x_{i},y_{j}\right)=\pmat{\bruch{4}{(x+2)^3} & 0\\ 0 & -\bruch{2}{(y-1)^3}}
[/mm]
Und was genau mach ich dann mit der Matrix? Laut wiki die Definitheit bestimmen. Und wie genau mach ich das? Setze ich Werte ein ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Do 08.10.2009 | | Autor: | marc1001 |
Soweit ich das jetzt gelesen habe, mache ich das über die Eigenwerte.
Aber was hat die Definitheit mit den Extremwerten zu tun ?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Soweit ich das jetzt gelesen habe, mache ich das über die
> Eigenwerte.
Ja, unter anderem.
Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Definitheit einer Matrix zu bestimmen, etwa über die Hauptminoren, Eigenwerte ...
Für [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrizen gibt's ne einfache Regel ...
Siehe in deinem Skript nach!
>
> Aber was hat die Definitheit mit den Extremwerten zu tun ?
Na alles, was steht denn diesbzgl. in eurem Skript??
Wann gibt's ein lokales Minimum/Maximum, wann einen Sattelpunkt?
Hier eine Kurzzusammenfassung zur Hessematrix, ein Artikel zur Definitheit ist dort auch im Textverlauf verlinkt.
Mache dich also zuerst mal schlau ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Do 08.10.2009 | | Autor: | marc1001 |
Also wenn ich die Eigenwerte für (-1;2) und (-3;0) bestimme, komme ich auf (4;-2) und (4;-2).
Nach wikipedia müsste es dann Sattelpunkte sein.
Du meinst für 2x2 Matrizen gibt es eine einfach Lösung. Kannst du sie mir sagen. Ich lese dazu zwar einiges aber ich steig da nicht wirklich dahinter.
|
|
|
| |
|
Hallo marc1001,
> Also wenn ich die Eigenwerte für (-1;2) und (-3;0)
> bestimme, komme ich auf (4;-2) und (4;-2).
>
> Nach wikipedia müsste es dann Sattelpunkte sein.
Ja.
Es gibt noch zwei weitere Punkte, die Kandidaten für Extrema sind:
[mm]\left(-1, \ 0\right), \ \left(-3, \ 2\right)[/mm]
>
> Du meinst für 2x2 Matrizen gibt es eine einfach Lösung.
> Kannst du sie mir sagen. Ich lese dazu zwar einiges aber
> ich steig da nicht wirklich dahinter.
>
Wenn [mm]z_{xx}*z_{yy}-\left(z_{xy}\right)^{2} > 0[/mm] und
[mm]z_{xx}, z_{yy}[/mm] das selbe Vorzeichen haben (+ oder -),
dann liegt an der besagten Stelle eiun Extrema vor.
Ist [mm]z_{xx}*z_{yy}-\left(z_{xy}\right)^{2} < 0[/mm] dann ist der
betreffende Punkt ein Sattelpunkt.
Ist [mm]z_{xx}*z_{yy}-\left(z_{xy}\right)^{2} = 0[/mm],
so kann nicht entschieden werden,
ob an dieser Stelle ein Extrema vorliegt oder nicht.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Do 08.10.2009 | | Autor: | marc1001 |
Danke für eure Hilfe!!!
Nur nochmal ein Frage zum Verständnis.
[mm] \left(-1, \ 0\right), [/mm] \ [mm] \left(-3, \ 2\right) [/mm] sind doch einfach nur [mm] \left(x_1, \ y_2\right), [/mm] \ [mm] \left(x_2, \ y_1\right) [/mm] . Oder?
Ausserdem schreibst du das [mm] z_{xx}, z_{yy} [/mm] das gleiche Vorzeichen haben müssen.
Das wäre hier ja nicht der Fall , also kann ich es auch so nicht machen. Hab ich recht ?
|
|
|
| |
|
Hallo marc1001,
> Danke für eure Hilfe!!!
>
> Nur nochmal ein Frage zum Verständnis.
> [mm]\left(-1, \ 0\right),[/mm] \ [mm]\left(-3, \ 2\right)[/mm] sind doch
> einfach nur [mm]\left(x_1, \ y_2\right),[/mm] \ [mm]\left(x_2, \ y_1\right)[/mm]
> . Oder?
>
So isses.
>
> Ausserdem schreibst du das [mm]z_{xx}, z_{yy}[/mm] das gleiche
> Vorzeichen haben müssen.
> Das wäre hier ja nicht der Fall , also kann ich es auch so
> nicht machen. Hab ich recht ?
Leider nicht.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
