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N'Abend! Ich hab eine Frage zur partiellen Ableitung. Ich dachte ich hätte es verstanden, ist ja auh nicht so schwer, aber dann kam diese Aufgabe:
Geben Sie alle partiellen Ableitungen der Funktion f: [mm] \IR^n \to \IR, [/mm] definiert durch f(x)= [mm] \parallel x\parallel2 [/mm] für ale x [mm] \in \IR^n, [/mm] bis zur Ordnung 2 an. Ist die funktion in x=0 partiell differenzierbar?
Ich weiß nicht, wie ich die 2-Norm partiell ableiten soll. Hoffe ihr könnt mir helfen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Di 31.05.2005 | | Autor: | terrier |
die 2-norm ist ja die wurzel aus der summe der quadrate.schreibs dir aus
[mm] \wurzel{x_{1}+.....+x_{n}}.dann [/mm] müsste das innere mal äussere ableitung sein.ich probier es mal.
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Hallo!
Deine Vermutung ist richtig, zum Ableiten benutzt du die Kettenregel.
Du hast also folgende Funktion:
[mm] f(x)=\wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
Und dann erhältst du:
[mm] \bruch{\partial{f}}{\partial{x}} [/mm] = [mm] \bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2}}
[/mm]
und
[mm] \bruch{\partial{f}}{\partial{y}} [/mm] = [mm] \bruch{y}{\wurzel{x^2+y^2}}
[/mm]
(Wenn man das erste hat, ist das zweite natürlich sehr simpel, da sich da nur das y im Zähler ändernt.  )
Alles klar jetzt?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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@Bastiane: Wollt nur mal nachfragen, warum du die Funktion [mm] \wurzel{ x^{2}+ y^{2}} [/mm] benutzt? Dachte die 2-Norm wäre [mm] \wurzel{x_{1}+.....+x_{n}}? [/mm] Ist das das gleiche, oder was?
Außerdem muss ich doch von den ableitungen, die du ausgerechnet hast die zweite Ableitung bestimmen, oder?
Gibt es nicht auch noch eine Ableitung, wo x und y abgeleitet werden können? ES steht ja dann, man soll alle möglichen Ableitungen bestimmen.
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> @Bastiane: Wollt nur mal nachfragen, warum du die Funktion
> [mm]\wurzel{ x^{2}+ y^{2}}[/mm] benutzt? Dachte die 2-Norm wäre
> [mm]\wurzel{x_{1}+.....+x_{n}}?[/mm] Ist das das gleiche, oder was?
> Außerdem muss ich doch von den ableitungen, die du
> ausgerechnet hast die zweite Ableitung bestimmen, oder?
> Gibt es nicht auch noch eine Ableitung, wo x und y
> abgeleitet werden können? ES steht ja dann, man soll alle
> möglichen Ableitungen bestimmen.
Hallo nochmal!
Sorry - ich hatte da nicht genau genug gelesen. Du hast Recht damit, dass wir n Koordinaten benötigen. Aber das Quadrat zu jeder Koordinate gehört schon dazu - guck dir doch mal die "p-Normen" an: ![[]](/images/popup.gif) hier klicken
Aber das Prinzip ist ganz genau dasselbe - da steht dann halt statt x bzw. y jedes Mal [mm] x_i [/mm] - der Rest fällt ja weg.
Und dass du die zweiten Ableitungen noch bestimmen solltest, hab ich wohl auch überlesen. Schaffst du das denn? Probier's doch mal.
Eine Ableitung, wo x und y abgeleitet werden, gibt es so, wie du es dir vorstellst wohl nicht, aber es steht doch auch nur da, dass du alle partiellen Ableitungen bestimmen sollst, oder? Und partiell bedeutet eben, dass du nur nach einer Koordinate ableitest. Eine "totale" Ableitung wäre in diesem Fall die Jacobi-Matrix.
Also, du musst dann aber jede erste Ableitung nach jeder Koordinate ableiten, wobei die meisten wohl gleich sein müssten (ich glaub', irgendwann mussten wir diese Aufgabe auch mal machen...).
Alles klar jetzt oder hab ich wieder was übersehen? Dann frag ruhig nochmal nach. 
Viele Grüße
Bastiane
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Erstmal Danke, das du gleich geantwortest hast.
Hab ich das jetzt so richtig verstanden, dass ich nach x1 bis xn alle einzeln ableiten muss? Das ist doch eigentlich immer dasselbe.
x1'= [mm] \bruch{x1}{\wurzel{x1^2+x2^2+...+xn^2}}
[/mm]
x2'= [mm] \bruch{x2}{\wurzel{x1^2+x2^2+...+xn^2}}
[/mm]
......
xn'= [mm] \bruch{xn}{\wurzel{x1^2+x2^2+...+xn^2}}
[/mm]
Und davon dann die zweiten Ableitungen:
[mm] x1''=\bruch{1*x1^2+x2^2+...+xn^2}{1^2+x2^2+...+xn^2}
[/mm]
[mm] x2''=\bruch{1*x1^2+x2^2+...+xn^2}{1^2+x2^2+...+xn^2}
[/mm]
...
[mm] xn''=\bruch{1*x1^2+x2^2+...+xn^2}{1^2+x2^2+...+xn^2}
[/mm]
Müssen die zweiten Ableitungen immer gleich sein. Hab es mit
[mm] \bruch{u*v'+u'*v}{v^2} [/mm] gerechnet
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Hallo nochmal!
> Erstmal Danke, das du gleich geantwortest hast.
> Hab ich das jetzt so richtig verstanden, dass ich nach x1
> bis xn alle einzeln ableiten muss? Das ist doch eigentlich
> immer dasselbe.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") - sagte ich das nicht, dass das immer dasselbe ist? War doch schon bei meinem etwas "verkehrten" Beispiel so, das ja nicht wirklich verkehrt war, sondern nur den Spezialfall n=2 betrachtet hatte (versehentlich...)
> x1'= [mm]\bruch{x1}{\wurzel{x1^2+x2^2+...+xn^2}}[/mm]
> x2'= [mm]\bruch{x2}{\wurzel{x1^2+x2^2+...+xn^2}}[/mm]
> ......
> xn'= [mm]\bruch{xn}{\wurzel{x1^2+x2^2+...+xn^2}}[/mm]
Allerdings würde ich das nicht mit [mm] x_i' [/mm] bezeichnen (übrigens kannst du Indizes mit "_" schreiben, das ist ganz simpel und macht das Ganze direkt wesentlich besser lesbar! ) Sondern ich würde schreiben:
[mm] \bruch{\partial{f(x_1,...,x_n)}}{\partial{x_1}} [/mm] usw.
> Und davon dann die zweiten Ableitungen:
> [mm]x1''=\bruch{1*x1^2+x2^2+...+xn^2}{1^2+x2^2+...+xn^2}[/mm]
> [mm]x2''=\bruch{1*x1^2+x2^2+...+xn^2}{1^2+x2^2+...+xn^2}[/mm]
> ...
> [mm]xn''=\bruch{1*x1^2+x2^2+...+xn^2}{1^2+x2^2+...+xn^2}[/mm]
> Müssen die zweiten Ableitungen immer gleich sein. Hab es
> mit
> [mm]\bruch{u*v'+u'*v}{v^2}[/mm] gerechnet
Und das darfst du nämlich auf keinen Fall so schreiben. Außerdem hast du mich wohl noch nicht so ganz verstanden. Du musst nun
[mm] \bruch{\partial{f(x_1,...,x_n)}}{\partial{x_1}} [/mm] sowohl nach [mm] x_1, [/mm] als auch nach [mm] x_2, [/mm] als auch nach... und auch noch nach [mm] x_n [/mm] ableiten. Also:
[mm] \bruch{\partial}{\partial{x_1}}(\bruch{\partial{f(x_1,...,x_n)}}{\partial{x_1}}) [/mm] und
[mm] \bruch{\partial}{\partial{x_1}}(\bruch{\partial{f(x_1,...,x_n)}}{\partial{x_2}}) [/mm] und
[mm] \bruch{\partial}{\partial{x_1}}(\bruch{\partial{f(x_1,...,x_n)}}{\partial{x_3}}) [/mm] usw. eben bis
[mm] \bruch{\partial}{\partial{x_1}}(\bruch{\partial{f(x_1,...,x_n)}}{\partial{x_n}}).
[/mm]
Und das gleiche dann mit [mm] \bruch{\partial{f(x_1,...,x_n)}}{\partial{x_2}}, [/mm] also dann:
[mm] \bruch{\partial}{\partial{x_2}}(\bruch{\partial{f(x_1,...,x_n)}}{\partial{x_1}}) [/mm] und
[mm] \bruch{\partial}{\partial{x_2}}(\bruch{\partial{f(x_1,...,x_n)}}{\partial{x_2}}) [/mm] und
[mm] \bruch{\partial}{\partial{x_2}}(\bruch{\partial{f(x_1,...,x_n)}}{\partial{x_3}}) [/mm] usw. bis
[mm] \bruch{\partial}{\partial{x_2}}(\bruch{\partial{f(x_1,...,x_n)}}{\partial{x_n}})
[/mm]
und das Gleiche dann noch für jede andere erste Ableitung. Verstehst du nun, was ich meine? Natürlich werden da auch viele gleich sein - schließlich hast du kein n gegeben, sodass du nicht unendlich viele einfach angeben kannst. Sondern da steckt schon ein Prinzip dahinter. Und zwar wirst du feststellen (ich hoffe, ich drücke das jetzt richtig aus), dass folgende Ableitungen immer gleich sind:
[mm] \bruch{\partial^2{f}}{\partial{x_1}\partial{x_1}} [/mm] (auch geschrieben als: [mm] \bruch{\partial^2{f}}{\partial^2{x_1}} [/mm] (ich muss zugeben, dass ich das auch erst vor kurzem wirklich kapiert habe, dass das dasselbe ist... ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]") ), und bei den anderen wirst du auch ein "Prinzip" feststellen.
Nochmal kurz in Worten: Du musst jede erst Ableitung nach jeder Koordinate ableiten, um wirklich alle partiellen Ableitungen zweiter Ordnung zu erhalten.
Alles klar nun? Für wann brauchst du denn die Aufgabe? Denn irgendwann muss ich auch noch ins Bett...
Viele Grüße
Bastiane
P.S: Übrigens kommen mir deine zweiten Ableitungen recht komisch vor. Wonach hast du eigentlich abgeleitet? Und hast du dort auch die Quotientenregel angewandt? Vergiss auch nicht die Ableitung des Nenners mit der Kettenregel abzuleiten...
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