partielle Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Sa 11.06.2011 | | Autor: | Klempner |
| Aufgabe | Die homogene Wellengleichung in einer Dimension ist für eine Funktion u(x,t) von [mm] \IR^{2} [/mm] nach [mm] \IR
[/mm]
durch folgende partielle Differentialgleichung gegeben (c ist dabei die Lichtgeschwindigkeit):
[mm] \bruch{1}{c^{2}} \bruch{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-\bruch{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} [/mm] =0
Zeigen Sie, dass die Funktion u(x,t) = cos(kx − [mm] \nu [/mm] t + [mm] \mu [/mm] ) diese Gleichung erfüllt. Dabei sind
k, [mm] \nu [/mm] und [mm] \mu [/mm] folgende Konstanten: Die Wellenzahl, die Kreisfrequenz und der Phasenversatz
der Welle. Für diese gilt der Zusammenhang k = [mm] \bruch{\nu}{c} [/mm] |
Hallo,
ich stehe bei dieser Aufgabe leider völlig auf dem Schlauch. Ich habe überhauptkeinen Ansatz, da ich absolut keine Ahnung habe, wie ich die beiden Aussagen verbinden kann.
Hat jemand eine Idee, wie ich beginnen kann?
Gruß Klempner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Sa 11.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst einfach nur [mm] u_{xx} [/mm] und [mm] u_{tt} [/mm] für dei gegebene fkt ausrechnen, in die Dgl einsetzen und fesstellen dass es stimmt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 So 12.06.2011 | | Autor: | Klempner |
Okay.
Also muss ich die partielle Ableitung von [mm] u_{xx} [/mm] und [mm] u_{tt} [/mm] bilden und dann einsetzen? oder was bedeutet nach [mm] u_x [/mm] und u_tt auflösen?
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Hallo Klempner,
> Okay.
> Also muss ich die partielle Ableitung von [mm]u_{xx}[/mm] und
> [mm]u_{tt}[/mm] bilden und dann einsetzen? oder was bedeutet nach
Ja.
> [mm]u_x[/mm] und u_tt auflösen?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 So 12.06.2011 | | Autor: | Klempner |
okay,
habe die Ableitung gebildet. Stimmt das?
[mm] u_{(x,x)}= [/mm] -k [mm] sin(kx-\nu [/mm] t [mm] +\mu)
[/mm]
und
[mm] u_{(t,t)}= \nu sin(kx-\nu [/mm] t [mm] +\mu)
[/mm]
Für was setzte ich die Zeilen dann ein? Direkt für u und t oder für [mm] \partial [/mm] u und [mm] \partial [/mm] t?
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Hallo Klempner,
> okay,
>
> habe die Ableitung gebildet. Stimmt das?
>
> [mm]u_{(x,x)}=[/mm] -k [mm]sin(kx-\nu[/mm] t [mm]+\mu)[/mm]
>
> und
> [mm]u_{(t,t)}= \nu sin(kx-\nu[/mm] t [mm]+\mu)[/mm]
Das sind doch erst die partiellen Ableitungen nach x bzw. t.
Diese musst Du jetzt noch einmal nach x bzw. t ableiten.
>
> Für was setzte ich die Zeilen dann ein? Direkt für u und
> t oder für [mm]\partial[/mm] u und [mm]\partial[/mm] t?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 So 12.06.2011 | | Autor: | Klempner |
du merkst, ich habe wirklich keine Ahnung davon. Ich weiß auch nicht wirklich was ich da mache. Ich halte mich da mehr an irgendwelche Beispiele und habe ich bisher nur gesehen, dass einmal nach jeder Veränderlichen abgeleitet wird.
Ich habe die beiden Terme jetzt nochmal nach x bzw. t abgeleitet:
[mm] u_{(x,x)}= -k^{2}cos(kx [/mm] - [mm] \nu [/mm] t + [mm] \mu)
[/mm]
und
[mm] u_{(t,t)}= -\nu^{2}cos(kx [/mm] - [mm] \nu [/mm] t + [mm] \mu)
[/mm]
Und das setze ich jetzt ein? Wenn ja, wo?
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Hallo Klempner,
> du merkst, ich habe wirklich keine Ahnung davon. Ich weiß
> auch nicht wirklich was ich da mache. Ich halte mich da
> mehr an irgendwelche Beispiele und habe ich bisher nur
> gesehen, dass einmal nach jeder Veränderlichen abgeleitet
> wird.
>
> Ich habe die beiden Terme jetzt nochmal nach x bzw. t
> abgeleitet:
>
> [mm]u_{(x,x)}= -k^{2}cos(kx[/mm] - [mm]\nu[/mm] t + [mm]\mu)[/mm]
>
> und
> [mm]u_{(t,t)}= -\nu^{2}cos(kx[/mm] - [mm]\nu[/mm] t + [mm]\mu)[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und das setze ich jetzt ein? Wenn ja, wo?
Das setzt Du jetzt in die gegebene partielle DGL ein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 So 12.06.2011 | | Autor: | Klempner |
Danke Mathe-Power!
Kannst du nochmal drüber schauen, ob ich das nun richtig eingesetzt habe? Bin jetzt davon ausgegangen, dass der Term [mm] \bruch{\partial ^{2}u}{\partial t^{2}} [/mm] die zweite Ableitung von t darstellt. Stimmt das? Dann erhalte ich:
[mm] \bruch{1}{c^{2}}-k^{2} cos(kx-\nu t+\mu) [/mm] + [mm] \nu^{2} cos(kx-\nu t+\mu)
[/mm]
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Hallo Klempner,
> Danke Mathe-Power!
>
> Kannst du nochmal drüber schauen, ob ich das nun richtig
> eingesetzt habe? Bin jetzt davon ausgegangen, dass der Term
> [mm]\bruch{\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}[/mm] die zweite Ableitung
> von t darstellt. Stimmt das? Dann erhalte ich:
Ja, das stimmt.
>
> [mm]\bruch{1}{c^{2}}-k^{2} cos(kx-\nu t+\mu)[/mm] + [mm]\nu^{2} cos(kx-\nu t+\mu)[/mm]
Hier muss eine Gleichung stehen:
[mm]\bruch{1}{c^{2}}\left( \ -k^{2} \ \right) cos(kx-\nu t+\mu)[/mm] + [mm]\nu^{2} cos(kx-\nu t+\mu)\blue{=0}[/mm]
Diese Gleichung wird nur erfüllt, wenn [mm]\nu= \ ...[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 So 12.06.2011 | | Autor: | Klempner |
nun dann muss [mm] \bruch{1}{c^{2}}*k^{2} [/mm] = [mm] \nu^{2} [/mm] sein
wenn man nun aus der Aufgabenstellung [mm] k=\bruch{\nu}{c} [/mm] einsetzt erhält man:
[mm] \nu=\bruch{\nu}{c}, [/mm] also schließe ich daraus, dass c=1 sein muss, oder?
Für [mm] \nu [/mm] kann ich da keine Bedingung ablesen.
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Hallo Klempner,
> nun dann muss [mm]\bruch{1}{c^{2}}*k^{2}[/mm] = [mm]\nu^{2}[/mm] sein
>
> wenn man nun aus der Aufgabenstellung [mm]k=\bruch{\nu}{c}[/mm]
> einsetzt erhält man:
>
> [mm]\nu=\bruch{\nu}{c},[/mm] also schließe ich daraus, dass c=1
> sein muss, oder?
>
> Für [mm]\nu[/mm] kann ich da keine Bedingung ablesen.
Sorry, in der Aufgabe ist nach einer Bedingung für k gefragt.
Löse daher die Gleichung
[mm]\bruch{1}{c^{2}}*k^{2}[/mm] = [mm]\nu^{2}[/mm]
nach k auf.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 So 12.06.2011 | | Autor: | Klempner |
Ich dachte k wäre schon durch die Angabe von [mm] k=\bruch{\nu}{c} [/mm] gegeben.
Wenn ich die Gleichung umstelle erhalte ich wieder genau diese Angabe.
Musste ich das also zeigen, um zu zeigen, dass die Gleichung =0 stimmt?
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Hallo Klempner,
> Ich dachte k wäre schon durch die Angabe von
> [mm]k=\bruch{\nu}{c}[/mm] gegeben.
k ist nicht gegeben.
Es heißt in der Aufgabe nur "Für diese Beziehung gilt: k= ..."
>
> Wenn ich die Gleichung umstelle erhalte ich wieder genau
> diese Angabe.
Das ist auch zu zeigen.
> Musste ich das also zeigen, um zu zeigen, dass die
> Gleichung =0 stimmt?
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 So 12.06.2011 | | Autor: | Klempner |
Achso. Vielen vielen Dank für deine Hilfe und die Mühe!
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