partielle Ableitungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Mi 30.06.2010 | | Autor: | Kyrill87 |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass für die Funktion
[mm] f:\IR^{2}\to\IR [/mm]
[mm] (x,y)\mapsto\bruch{y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, [/mm] für (x,y) [mm] \not=(0,0) [/mm]
[mm] (x,y)\mapsto [/mm] 0, für (x,y) = (0,0)
in (0,0) alle Richtungsableitungen existieren, i.A. aber [mm] D_{v}f(0,0)\not=(Gradf(0,0),v) [/mm] (Skalarprodukt)
gilt. Ist f in (0,0) stetig? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also damit die Gleichheit gilt, muss gelten:
f sei partiell differenzierbar (in Umgebung a [mm] \in \IR^{2}) [/mm] und in a [mm] \in [/mm] B [mm] (B\subseteq \IR^{n}) [/mm] stetig partiell differenzierbar, dann ist f in alle Richtungen [mm] v\not=0 [/mm] (Vektor) differenzierbar und die Gleichheit gilt oben, anstatt die Ungleichheit.
Das alle Richtungsableitungen existieren ist klar nach dem Differenzenquotienten...
jetzt wollt ich erstmal schaun, ob f in (0,0) stetig ist, nach Definition hat f ja eine Stetigkeitsstelle bei (0,0) und man muss noch den Rechts und Linksseitigen Limes überprüfen:
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow+(0,0)}=\bruch{y^{3}}{x^{2}+y^{2}}=+0 [/mm]
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow-(0,0)}=\bruch{y^{3}}{x^{2}+y^{2}}=-0 [/mm]
beide Limes sind 0 [mm] \Rightarrow [/mm] f ist in (0,0) stetig.
das ist doch soweit richtig oder? Ich dachte mir nämlich, dass die Stetigkeit gerade der Schlüssel dazu sei, dass die Ungleichheit gilt...
kann mir da jemand helfen bitte? 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:07 Do 01.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie, dass für die Funktion
> [mm]f:\IR^{2}\to\IR[/mm]
> [mm](x,y)\mapsto\bruch{y^{3}}{x^{2}+y^{2}},[/mm] für (x,y)
> [mm]\not=(0,0)[/mm]
> [mm](x,y)\mapsto[/mm] 0, für (x,y) = (0,0)
> in (0,0) alle Richtungsableitungen existieren, i.A. aber
> [mm]D_{v}f(0,0)\not=(Gradf(0,0),v)[/mm] (Skalarprodukt)
> gilt. Ist f in (0,0) stetig?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Also damit die Gleichheit gilt, muss gelten:
> f sei partiell differenzierbar (in Umgebung a [mm]\in \IR^{2})[/mm]
> und in a [mm]\in[/mm] B [mm](B\subseteq \IR^{n})[/mm] stetig partiell
> differenzierbar, dann ist f in alle Richtungen [mm]v\not=0[/mm]
> (Vektor) differenzierbar und die Gleichheit gilt oben,
> anstatt die Ungleichheit.
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>
> Das alle Richtungsableitungen existieren ist klar nach dem
> Differenzenquotienten...
Dann schreib doch das mal hin, damit man sieht ob Du es richtig hast !
> jetzt wollt ich erstmal schaun, ob f in (0,0) stetig ist,
> nach Definition hat f ja eine Stetigkeitsstelle bei (0,0)
??? das wissen wir doch noch nicht !!
> und man muss noch den Rechts und Linksseitigen Limes
Das ist doch völliger Unsinn. Wir sind im [mm] \IR^2 [/mm] !!!!!
> überprüfen:
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow+(0,0)}=\bruch{y^{3}}{x^{2}+y^{2}}=+0[/mm]
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow-(0,0)}=\bruch{y^{3}}{x^{2}+y^{2}}=-0[/mm]
> beide Limes sind 0 [mm]\Rightarrow[/mm] f ist in (0,0) stetig.
> das ist doch soweit richtig oder?
f ist stetig in (0,0), das ist richtig, aber Deine "Argumente" sind abenteuerlich !
Überzeuge Dich davon, dass
$|f(x,y)| [mm] \le [/mm] |y|$
ist in jedem (x,y) [mm] \in \IR^2. [/mm] Aus obiger Ungl. folgt dann die Stetigkeit von f in (0,0)
FRED
> Ich dachte mir nämlich,
> dass die Stetigkeit gerade der Schlüssel dazu sei, dass
> die Ungleichheit gilt...
> kann mir da jemand helfen bitte?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Do 01.07.2010 | | Autor: | Kyrill87 |
Also der Differenzenquotient:
[mm] D_{v}f(0,0)=\limes_{t\to0}\bruch{f(0+tv_{1},0+tv_{2})-f(0,0)}{t}
[/mm]
[mm] =\limes_{t\to0}\bruch{(\bruch{(tv_{2})^{3}}{(tv_{1})^{2}+(tv_{2})^{2}})}{t}=\limes_{t\to0}\bruch{(tv_{2})^{3}}{t*((tv_{1})^{2}+(tv_{2})^{2})}=\bruch{0}{0}=0 [/mm]
Da der Limes existiert, existieren auch die Richtungsableitungen... (dacht ich zumindest)
und
> Also damit die Gleichheit gilt, muss gelten:
> f sei partiell differenzierbar (in Umgebung a [mm]\in \IR^{2})[/mm]
> und in a [mm]\in[/mm] B [mm](B\subseteq \IR^{n})[/mm] stetig partiell
> differenzierbar, dann ist f in alle Richtungen [mm]v\not=0[/mm]
> (Vektor) differenzierbar und die Gleichheit gilt oben,
> anstatt die Ungleichheit.
Hat uns unser Tutor im Tutorium so gegeben
also ich versuch mich jetzt mal davon zu überzeugen das [mm] |f(x,y)|\le|y| [/mm] ist:
[mm] |\bruch{y^{3}}{x^{2}+y^{2}}|=\wurzel{\bruch{y^{3}}{x^{2}+y^{2}}*\bruch{y^{3}}{x^{2}+y^{2}}}=\wurzel{\bruch{y^{6}}{x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}}} [/mm] also irgendwie seh ich nicht, wie das [mm] \le [/mm] |y| sein soll, ich kann noch aufteilen in [mm] \wurzel{\bruch{y^{6}}{x^{4}}+\bruch{y^{4}}{2x^{2}y^{2}}+y^{2}} [/mm] aber da ja [mm] |y|=\wurzel{y^{2}} [/mm] ist, kann ja nur [mm] \ge|y| [/mm] gelten... (oder bin ich nur noch dusselig...??)
ich weiß jetzt auch nicht, wie ich dann [mm] D_{v}f(0,0)\not=(Gradf(0,0),v) [/mm] (Gradf(0,0),v soll Skalarprodukt sein) beweisen sollte...
Ich brauch Hilfe!! :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Do 01.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Also der Differenzenquotient:
>
> [mm]D_{v}f(0,0)=\limes_{t\to0}\bruch{f(0+tv_{1},0+tv_{2})-f(0,0)}{t}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{t\to0}\bruch{(\bruch{(tv_{2})^{3}}{(tv_{1})^{2}+(tv_{2})^{2}})}{t}=\limes_{t\to0}\bruch{(tv_{2})^{3}}{t*((tv_{1})^{2}+(tv_{2})^{2})}=\bruch{0}{0}=0[/mm]
Das ist doch nicht richtig !
[mm] \bruch{(tv_{2})^{3}}{t*((tv_{1})^{2}+(tv_{2})^{2})}= \bruch{t^3v_{2}^{3}}{t^3v_{1}^{2}+t^3v_{2}^{2}}= \bruch{v_{2}^{3}}{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}} \to \bruch{v_{2}^{3}}{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}} [/mm] für t [mm] \to [/mm] 0
>
> Da der Limes existiert, existieren auch die
> Richtungsableitungen... (dacht ich zumindest)
> und
>
> > Also damit die Gleichheit gilt, muss gelten:
> > f sei partiell differenzierbar (in Umgebung a [mm]\in \IR^{2})[/mm]
> > und in a [mm]\in[/mm] B [mm](B\subseteq \IR^{n})[/mm] stetig partiell
> > differenzierbar, dann ist f in alle Richtungen [mm]v\not=0[/mm]
> > (Vektor) differenzierbar und die Gleichheit gilt oben,
> > anstatt die Ungleichheit.
>
> Hat uns unser Tutor im Tutorium so gegeben
>
> also ich versuch mich jetzt mal davon zu überzeugen das
> [mm]|f(x,y)|\le|y|[/mm] ist:
>
> [mm]|\bruch{y^{3}}{x^{2}+y^{2}}|=\wurzel{\bruch{y^{3}}{x^{2}+y^{2}}*\bruch{y^{3}}{x^{2}+y^{2}}}=\wurzel{\bruch{y^{6}}{x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}}}[/mm]
> also irgendwie seh ich nicht, wie das [mm]\le[/mm] |y| sein soll,
> ich kann noch aufteilen in
> [mm]\wurzel{\bruch{y^{6}}{x^{4}}+\bruch{y^{4}}{2x^{2}y^{2}}+y^{2}}[/mm]
> aber da ja [mm]|y|=\wurzel{y^{2}}[/mm] ist, kann ja nur [mm]\ge|y|[/mm]
> gelten... (oder bin ich nur noch dusselig...??)
$|f(x,y)| = [mm] \bruch{|y|^3}{x^2+y^3} \le [/mm] |y| $ [mm] \gdw $|y|^3 \le x^2|y|+y^2|y|= x^2|y|+|y|^3$
[/mm]
und die Ungleichung [mm] $|y|^3 \le x^2|y|+|y|^3$ [/mm] ist zweifelsohne richtig !
> ich weiß jetzt auch nicht, wie ich dann
> [mm]D_{v}f(0,0)\not=(Gradf(0,0),v)[/mm] (Gradf(0,0),v soll
> Skalarprodukt sein) beweisen sollte...
Es ist doch (s.o.) : [mm] D_{v}f(0,0)= \bruch{v_{2}^{3}}{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}
[/mm]
damit ist gradf(0,0) =(0,1) und somit (gradf(0,0),v)= [mm] v_2
[/mm]
Hilft das ?
FRED
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> Ich brauch Hilfe!! :-(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 Do 01.07.2010 | | Autor: | Kyrill87 |
Oh man, ja Hilft!! Vielen Dank, das doofe ist, als ich meine Frage vorhin abgeschickt habe und den Differenzenquotient mir so angesehen, hab ich auch überlegt, wenn ich die ganzen t ausmultipliziere, kürzen die sich am ende raus, aber ich hab nich weiter überlegt, dass das ja dann mit dem Gradienten weiterhin zu tun hat.
Vielen vielen Dank, jetz bin ich wieder nen stückl schlauer 
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