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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion
[mm] $f:\IR^2 \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] f(x) := [mm] \begin{cases} \bruch{x_1x_2^2}{x_1^2+x_2^2}, & \mbox{für } x \not= 0 \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } x=0 \mbox{} \end{cases}$
[/mm]
Für $x [mm] \not= [/mm] 0$ kann man zeigen: $f$ ist in x diff., und es gilt:
[mm] $f'(x)=\bruch{1}{|x|^4}(x_2^2(-x_1^2+x_2^2),2x_1^3x_2)$
[/mm]
Im Nullpunkt ist $f$ jedoch nicht diff., denn für die partiellen Ableitungen in Richtung der Koordinatenachsen erhält man [mm] $\partial_1f(0)=\partial_2f(0)=0$, [/mm] d. h. es müsste $f'(0)=0$ sein, aber die Ableitung in Richtung des Vektors $(1,1)$ ergibt:
[mm] $\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(t(e_1+e_2))}{t}=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(t,t)}{t}=\bruch{1}{2} \not= [/mm] 0.$
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Hallo ihr Lieben,
mich quält seit zwei Tagen diese Beispielaufgabe. Mein Verständnisproblem liegt darin, dass ich das Unterstrichene überhaupt nicht vertehe.
- was heißt "in Richtung der Koordinatenachsen"?
- sind die partiellen Ableitungen im Punkt (0,0) berechnet worden? Aber dann dividiert man ja durch Null, was nicht definiert ist.
- wieso kommt bei der Ableitung in Richtung (1,1) [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
als Ergebnis?
Ihr seht, ich habe viele Lücken... Könntet ihr mir bitte helfen, diese Lücken zu schließen, denn in der Lektüre komme ich kaum voran, so lange ich dieses Problem nicht gelöst habe...:(
viele Grüße, favourite
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:04 Di 11.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du solltest dir ansehen, was die Definition der Richtungsableitung ist.
meist steht da statt t ein h, hier ist das einfach mal auf den Vektor (1,0)=e1 auf (0,1)=e2 und (1,1)=e1+e2 angewandt.
das erste sind die Ableitungen die bei dir [mm] \partial_1 [/mm] und [mm] \partial_2 [/mm] heissen.
dabei ist der Ausdruck verkürzt, weil man nur die Ableitung in (0,0) will und f(0,0)=0
berechne also die 3 Ableitungen, die eine steht da,
[mm] \partial_1(0)=$ \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f((0,0)+t*e_1)-f(0,0)}{t}=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(t*(1,0))}{t}=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(t,0)}{t}=?
[/mm]
da solltest du 0 rauskriegen, entsprechend in Richtung e2
in richtung (1,1) steht es ja schon da.
Gruss leduart
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Hallo,
also soweit ich verstanden habe, gilt nach Definition der partiellen Ableitung:
[mm] $\partial_1 [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x_1+h,x_2)-f(x_1,x_2)}{h}$, [/mm] analog [mm] \partial_2.
[/mm]
Aber mir ist immer noch die Formulierung bzw. die Berechnung der partiellen Abl. im Nullpunkt
" für die partiellen Ableitungen in Richtung der Koordinatenachsen erhält man $ [mm] \partial_1f(0)=\partial_2f(0)=0 [/mm] $, d. h. es müsste $ f'(0)=0 $ sein"
unklar.
Mir geht es hier darum, den Hintergrund zu verstehen, die partiellen Ableitungen zu berechnen ist nicht das Problem.
Also noch mal gezielt meine Fragen:
- wie ist "...in Richtung der Koordinatenachsen" zu verstehen?
- wie wurde $ [mm] \partial_1f(0)=\partial_2f(0)=0 [/mm] $ berechnet? Hier verwirrt mich die Null. Ist in die Funktion [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=0 [/mm] eingesetzt worden?
Gruß, favourite
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:51 Di 11.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> also soweit ich verstanden habe, gilt nach Definition der
> partiellen Ableitung:
>
> [mm]\partial_1 = \limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x_1+h,x_2)-f(x_1,x_2)}{h}[/mm],
> analog [mm]\partial_2.[/mm]
>
> Aber mir ist immer noch die Formulierung bzw. die
> Berechnung der partiellen Abl. im Nullpunkt
>
> " für die partiellen Ableitungen in Richtung der
> Koordinatenachsen erhält man
> [mm]\partial_1f(0)=\partial_2f(0)=0 [/mm], d. h. es müsste [mm]f'(0)=0[/mm]
> sein"
>
> unklar.
>
> Mir geht es hier darum, den Hintergrund zu verstehen, die
> partiellen Ableitungen zu berechnen ist nicht das Problem.
>
> Also noch mal gezielt meine Fragen:
>
> - wie ist "...in Richtung der Koordinatenachsen" zu
> verstehen?
> - wie wurde [mm]\partial_1f(0)=\partial_2f(0)=0[/mm] berechnet?
> Hier verwirrt mich die Null.
> Ist in die Funktion [mm]x_1=0[/mm] und
> [mm]x_2=0[/mm] eingesetzt worden?
Genau !
FRED
>
> Gruß, favourite
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aha ok,
dann ist die Funktion doch Null, und ich leite die Funktion, die den Wert Null hat, partiell nach [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2? [/mm] Das ist komisch!
Und FRED hast Du auch eine Antwort auf meine erste Frage?!
Grüße, favourite
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Di 11.05.2010 | | Autor: | chrisno |
Was ist daran komisch, zum Beispiel [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] an der Stelle $x=0$ abzuleiten?
Die Ableitung ist immer erst einmal an einer Stelle definiert. Dann kannst Du sie auf die Ableitungsfunktion erweitern.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 Di 11.05.2010 | | Autor: | favourite |
Danke für deinen Beitrag chrisno,
aber ich versuche hier grade die Zusammenhänge zu verstehen - da scheint einem erstmal alles komisch. Überdies habe ich aus deinem Beitrag leider nichts herleiten können.
Na ja, ich nehme noch einmal Bücher zur Hilfe, es bringt sicherlich mehr.
Gruß, favourite
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:38 Mi 12.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Wert einer fkt ob 2 oder eindimensional hat nits mit dder Ableitung an der stelle zu tun.
die Funktionen [mm] f(x)=x^2, [/mm] f=7x, f=sinx f=tanx f [mm] =e^x-1 [/mm] und unendlich viele andere hben f(0)=0 das bestimmt ja nicht ihre Ableitung.
die Ableitung ist ein GW. ich hab doch geschrieben, welche GW du berechnen musst. Wenn du dich in skript oder Buch vertiefst, versuch zu verstehen, was eine Richtungsableitung ist.
Wenn du irgendwo an nem Berg stehst kommt es doch drauf an, in welcher Richtung du gehst, wie "steil" er steigt oder fällt. um das lokal zu machen, gehst du von dem Punkt in der gewhlten Richtung ein kleine Stück h,rechnest du den Unterschied der Höhen = Unterschied der Funktionswerte aus und dievidierst durch h und hast die Steigung der Sehne. wie bei eindimensionalen fkt verkleinerst du h immer weiter, wenn du nen GW dabei findest, wird das als Steigung (bzw Ableitung) in dem Ausgangspunkt in der Richtung bezeichnet.
jetz klarer?
(wenn du Fragen hast bitte immer im Forum , nicht durch pn, und nicht als Mitteilung, dann erscheint für alle sichtbar deine Frage rot gekennzeichnet und meist findet sich schnell ein Helfer.)
Damit du dir das Gebilde besser vorstellen kannst füg ich ein Bildchen bei, die Funktionswerte sind über der x-y Ebene dargestellt, der 0 Pkt etwa in der Mitte, um die verschiedenen Steigungen deutlicher zu machen, hab ich 3*f aufgetragen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
hergestellt mit 3D-XplorMath
Gruss leduart.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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