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Moin Leute,
weiß vielleicht jemand wie man zeigt dass eine Funktion nach beiden Variablen, aus denen sie besteht, überall stetig partiell differenzierbar ist?
Speziell würde mich dies auch für die Funktion f:R² [mm] \to [/mm] R mit f(0,0)=0 und
[mm] f(x,y)=\bruch{x³y-xy³}{x²+y²}
[/mm]
interessieren.
Und wenn mir dann noch jemand verraten könnte wie ich [mm] \partial_{x,y}f(0,0)
[/mm]
und [mm] \partial_{y,x}f(0,0) [/mm] bestimmt und warum das nicht das Selbe sein kann, würde mir das echt gut weiterhelfen.
Schon mal danke im vorraus!
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Hallo jentowncity,
Die partiellen Ableitungen der Funktion berechnet man nach der Quotientenregel. Wenn Du partiell nach einer Variablen ableitest, wird die andere wie eine Konstante behandelt.
Man erhält dann
[mm] \partial_{xy} [/mm] f(x,y) = [mm] \partial_{yx} [/mm] f(x,y) = [mm] (x^6+9*x^4*y^2-9*x^2*y^4-y^6) [/mm] / [mm] (x^2+y^2)^3
[/mm]
Beachte: Es macht keinen Unterschied, nach welcher Variablen man zuerst ableitet.
Umn diese im Nullpunkt auszuwerten, betrachtet man den entsprechende Grenzwert. Man stellt fest, dass die zweite partielle Ableitung im Nullpunkt nicht mehr stetig ist. Es gilt:
[mm] \limes_{x \rightarrow 0} \partial_{xy} [/mm] f(x,0) = 1 und
[mm] \limes_{y \rightarrow 0} \partial_{xy} [/mm] f(0,y) = -1
Liebe Grüße,
Holy Diver
P.S.: Ich hoffe die Formelgrafiken sind in Ordnung. Obwohl es tiefste Nacht ist, weigert sich der Server, sie mir anzuzeigen.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:13 Sa 24.05.2008 | | Autor: | fabianH |
Das finde ich relativ komisch.
Ich weiß auch, dass man partiell ableitet indem man eine Variable fixiert und dann die Funtktion nach den gewohnten Ableitungsregeln ableitet. Aber hier liegt mein Problem.
Jede der gewohnten Ableitungsregeln setzt vorraus, dass die Funktion differenzierbar ist! Wenn ich also zum Beispiel das Polynom f(x)=x hätte müsste ich streng genommen wenn ich nicht wüsste, dass f(x) = x differenzierbar ist diese Funktion mithilfe des Differenzenquotienen überprüfen. Ich dürfte nicht einfach hingehen und f(x)=x ableiten.
Und das ist das Problem, dass ich mit dieser Antwort habe. Wenn bei obiger Aufgabe eine Variable fixiert wird hat man eine Funktion die von einer Variable abhängt und von der man überhaupt keine ahnung hat ob sie differenzierbar ist!! Bedeutet das nicht man müsste sie mit dem Differenzenquotienten behandeln, also überprüfen, dass lim x-->a f(x)-f(a) / x-a (a Häufungspunkt) existiert?
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Hi,
> Das finde ich relativ komisch.
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> Ich weiß auch, dass man partiell ableitet indem man eine
> Variable fixiert und dann die Funtktion nach den gewohnten
> Ableitungsregeln ableitet. Aber hier liegt mein Problem.
> Jede der gewohnten Ableitungsregeln setzt vorraus, dass
> die Funktion differenzierbar ist! Wenn ich also zum
> Beispiel das Polynom f(x)=x hätte müsste ich streng
> genommen wenn ich nicht wüsste, dass f(x) = x
> differenzierbar ist diese Funktion mithilfe des
> Differenzenquotienen überprüfen. Ich dürfte nicht einfach
> hingehen und f(x)=x ableiten.
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> Und das ist das Problem, dass ich mit dieser Antwort habe.
> Wenn bei obiger Aufgabe eine Variable fixiert wird hat man
> eine Funktion die von einer Variable abhängt und von der
> man überhaupt keine ahnung hat ob sie differenzierbar ist!!
> Bedeutet das nicht man müsste sie mit dem
> Differenzenquotienten behandeln, also überprüfen, dass lim
> x-->a f(x)-f(a) / x-a (a Häufungspunkt) existiert?
>
nein, dazu hat man ja die basic-ableitungsregeln. zb. lautet die quotientenregel, dass eine funktion $f=u/v$, wenn u und v in [mm] x_0 [/mm] diffbar sind UND [mm] $v(x_0)\ne [/mm] 0$ ist, auch in [mm] x_0 [/mm] diffbar ist und die ableitung lautet f'=... .Fuer die funktion in dieser aufgabe kann man also ueberall ausser im nullpunkt mittels ableitungsregeln die partiellen abl. bestimmen.
Nur im nullpunkt greifen die regeln nicht und man muss 'haendisch' ran.
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Sa 24.05.2008 | | Autor: | fabianH |
Halt halt
Hier der genaue Wortlaut der Quotientenregel: Sind f, g : M [mm] \to \IR [/mm] in a [mm] \in [/mm] M differenzierbar und ist g(a) [mm] \ne [/mm] 0 , so existiert ein [mm] \epsilon [/mm] > 0 so , dass g(x) [mm] \ne [/mm] 0 für alle x [mm] \in [/mm] M [mm] \cap U_{\epsilon}(a). [/mm] Weiterhin ist die Funktion :
[mm] \frac{f}{g}: [/mm] M [mm] \cap U_{\epsilon}(a) \to \IR
[/mm]
in a differenzierbar und hat die ableitung usw...
Die Quotientenregel setzt doch vorraus(!!) Das die Funktionen f und g schon differenzierbar sind. Zwar würde ich daran hier keinen zweifel hegen, denn hier befinden sich im Zähler und im Nenner polynome jedoch bewegen wir uns auch nicht im [mm] \IR [/mm] sondern im [mm] \IR [/mm] ^2 und ich weiß nicht ob ich in höher dimensionalen Räumen die Differenzierbarkeit von Polynomen genauso annehmen kann wie im [mm] \IR. [/mm] Ein weiteres Problem habe ich mit der Quotientenregel auch: In der Definition ist die Menge M Teilmenge von [mm] \IR. [/mm] Hier ist aber M der [mm] \IR^2 [/mm] und ich glaub nicht das der [mm] \IR [/mm] ^2 eine Teilmenge des [mm] \IR [/mm] ist oder?
Und du sagst mir jetzt ich kann diese Quotientenenregel so einfach ohne weiteres auf eine Funktion übertragen obwohl mir die Hälfte der Definition Probleme macht? Erklär mir das!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Sa 24.05.2008 | | Autor: | Hund |
Hallo,
wenn man jetzt nicht wüsste, dass Polynome in mehreren Variablen differenzierbar sind, dann müsste man das irgendwie ausrechnen, da hast du Recht, allerdings gibt es dafür Ableitungsregeln mit denen man das ganz einfach nachrechnen kann. Man rechnet z.B. mittels Differenzenquotiente nach, dass x diffbar ist. Polynome in x und y sind nun Summen und Produkte dieser diffbaren Funktionen und die Summenregel und Produktregel sagen uns nun, dass somit auch diese Polynome nach x partiell diffbar sind, analog verfährt man mit y.
Du hast Recht, die Ableitungsregel gilt nur für Funktionen, die nach einer Variablen differenziert werden. Allerdings brauchst du nicht mehr, den wenn du eine Funktion in mehreren Variablen auf diffbarkeit prüfst, prüfst du doch ob sie nach jeder Varablen differenzierbar ist. Du hast doch nur partielle Differenzierbarkeit (bei der totalen ist das was anderes).
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:35 Sa 24.05.2008 | | Autor: | fabianH |
Hi
Naja nicht so richtig. Das problem dass ich habe, ist dass die ganzen Ableitungsregeln vorraussetzen, dass die Funktion h(x) aus Funktionen f(x) und g(x) bestehen die differenzierbar sind. Und die Ableitungsregeln spezifizieren noch mehr sie sagen nicht nur , dass die f(x) und g(x) differenzierbar sind, sondern dass die Funktionen von einer Menge M zu [mm] \IR [/mm] definiert sein müssen. Und die Menge M muss Teilmenge von [mm] \IR [/mm] sein.
Jetzt konkret auf obige Aufgabe bezogen: Ich fixiere y und habe dann zwei polynome die Abhängig sind von einer Variablen
f(x) [mm] =x^3 [/mm] y- [mm] xy^3
[/mm]
g(x) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2
[/mm]
[mm] \frac{f(x)}{g(x)} [/mm] ergibt obige Funktion von der ich Differenzierbarkeit nachprüfen soll. Wenn ich jetzt alle Regeln so benutzen dürfte wie ich es in Ana 1 gelernt habe dann würde ich einfach sagen:
f(x) diffbar, g(x) diffbar daraus folgt [mm] \frac{f(x)}{g(x)} [/mm] diffbar (so im groben) und hätte somit die Differenzierbarkeit gezeigt.
Dann könnte ich sie auch ableiten, das wär dann kein Problem weil sie ja Differenzierbar ist also die Ableitung existiert.
Aber ich kann 1. nicht sagen dass Polynome p(x): [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] differenzierbar ist. Den einzigen Beweis den wir in der Vorlesung (in Ana 1 ) gezeigt haben war, dass Polynome p(x): M [mm] \to \IR (\M [/mm] subseteq [mm] \IR) [/mm] diffbar sind.
Somit kann ich so schonmal nicht den Beweis antreten. Dann fragt mich mein Bremser woher ich weiß dass Polynome die so definiert sind differenzierbar sind.
Weiterhin gelten alle Ableitungsregeln die ich kenne (aus Ana 1) nur im bei Funktionen von M [mm] \subseteq \IR \to \IR [/mm] . Die haben wir für Räume mit höherer Dimension (wie z.b [mm] \IR^2) [/mm] überhaupt nicht dran gehabt. Das heißt die Ableitungsregeln gelten überhaupt nicht für obige Funktion da diese ja von [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] geht.
Es ist doch so das wir die differenzierbarkeit gern so zeigen indem wir eine Funktion in Summen oder Produkte von Funktionen zerlegen von denen wir wissen, dass sie differenzierbar sind und somit ist auch die ganze Funktion diffbar.
Nur: Diese basis habe ich nicht. Wir haben weder Ableitungsregeln für [mm] \IR^n [/mm] definiert (falls es das überhaupt gibt) noch haben wir uns Aufgeschrieben, dass irgendwelche Funktionentypen (wie z.b Polynome) im [mm] \IR^n [/mm] differenzierbar sind.
Somit bleibt mir doch nur noch der Differenzenquotient um zu zeigen dass die Funktion da oben diffbar ist oder nicht?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 26.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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